中学数学の基本から難問まで、解き方を分かりやすく解説

作図・線対称と対頂角の利用

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線対称と対頂角の利用

例題

下の図で、\(\angle APX=\angle BPY\) となるような点 \(P\) を、\(XY\) 上に作図しなさい。

中学数学・高校受験chu-su-作図 2角等しい 図1

解説

作図方法がわからないとき、まずは完成形をラフスケッチします。
その完成形の図形的性質を探るのです。

中学数学・高校受験chu-su-作図 2角等しい 図2

上図をみて、何か思いつくことはないでしょうか。
なかなか難しいですね。

直線 \(BP\) を延長してみましょう。
赤い角と青い角は対頂角で等しいので、赤い角とピンクの角が等しいならば、
青い角とピンクの角が等しいことになります。

中学数学・高校受験chu-su-作図 2角等しい 図3

つまり、下図のピンクと青い直線が、\(XY\) を軸として線対称です。

中学数学・高校受験chu-su-作図 2角等しい 図4

よって、\(A´\) を作図することができれば、点 \(P\) を作図できます。

※ところで、この点 \(P\) の位置は、\(AP+BP\) が最短となる点 \(P\) の位置と同じですね。

作図の方針がたちました。

1.点 \(A\) と対称な点 \(A´\) を、\(XY\) を対称の軸としてとる。

2.直線 \(A´B\) と 直線 \(XY\) の交点を 点 \(P\) とする。

作図

点 \(A\) を中心に円かき、直線 \(XY\) との交点をとる
中学数学・高校受験chu-su-作図 2角等しい 図5

直線 \(XY\) との交点を中心に円を \(2\) つかく
交点が \(A´\)
中学数学・高校受験chu-su-作図 2角等しい 図6

直線 \(A´B\) と直線 \(XY\) の交点が \(P\)
中学数学・高校受験chu-su-作図 2角等しい 図7

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