中学数学の基本から難問まで、解き方を分かりやすく解説

円の総合問題・その2

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問題

下の図は、線分 \(AB\) を直径とする半円で、点 \(C\) は\(\stackrel{ \Large \frown }{ AC }\) 上にある。\(\stackrel{ \Large \frown }{ AC }\) 上に点 \(D\) を、
\(\stackrel{ \Large \frown }{ AD }=\stackrel{ \Large \frown }{ CD }\) となるようにとり、線分 \(AC\) と線分 \(BD\) の交点を \(E\) とする。次の問いに答えなさい。

中学数学・高校受験chu-su- 円の総合問題2 図1

(1)三角形 \(ABE\) と三角形 \(DBC\) を証明しなさい。
(2)\(AB=10cm,AD=6cm\) のとき
  ①線分 \(AE\) の長さを求めなさい。
  ②線分 \(BC\) の長さを求めなさい。

解説

(1)三角形 \(ABE\) と三角形 \(DBC\) が相似

もちろん、角度から相似がいえます。
円周角の定理より、等しい角があり、そして「相似」
これが非常に多い定番です。

中学数学・高校受験chu-su- 円の総合問題2 図2

赤丸の角は、\(\stackrel{ \Large \frown }{ BC }\) の円周角。
青丸の角は、\(\stackrel{ \Large \frown }{AD }\) と \(\stackrel{ \Large \frown }{ CD }\) の円周角。

\(2\) つの角が等しいので、相似です。
証明の解答例は省略します。

(2)\(AB=10cm,AD=6cm\) のとき \(AE,BC\) の長さ

様々な情報が隠れています。
まず、直径があるので、半円の円周角 \(90°\) です。
下図の赤い直角です。
そして、直角三角形 \(DAB\) が \(3:4:5\) の有名三角形です。
\(BD=8cm\) です。

中学数学・高校受験chu-su- 円の総合問題2 図3-2

次に、直角三角形 \(DEA\) と直角三角形 \(CEB\) が
直角三角形 \(DAB\) と相似です。
直角と青丸の角の大きさからわかります。
よって、直角三角形 \(DEA\) と直角三角形 \(CEB\) も
辺の比が \(3:4:5\) の有名三角形です。

中学数学・高校受験chu-su- 円の総合問題2 図4

よって、\(AE=7.5(cm),DE=4.5(cm)\)
\(BE=BD-DE\) なので、
\(BE=8-4.5=3.5\)
\(BE:CB=5:4\) なので、

\(CB=3.5×\displaystyle \frac{4}{5}=2.8(cm)\)
以上より、\(BC=2.8cm\)です。

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