中学数学の基本から難問までの問題と分かりやすい解説を掲載した完全無料のオンライン学習ページです。

円錐と内接球・その2

問題

下の図のように、底面の半径が \(28cm\),母線の長さが \(100cm\) の円錐に
\(2\) つの球が内接しています。球と球も接しています。
このとき、小さい球の半径を求めなさい。

中学数学・高校受験chu-su- 円錐と内接球 追加 図1

解説

円錐と内接球・その1の追加問題です。

下の大きい球の半径は、
問題1と完全に同じ求め方により、\(21cm\) と求まります。

ここまで求めた状態から、次に上の小さい球の半径を求めます。
下の図のようになっています。

中学数学・高校受験chu-su- 円錐と内接球 追加 図2

この図における相似な直角三角形たちは、 \(3\) 辺の比が \(25:24:7\) であり、
下図の水色の直角三角形も\(3\) 辺の比が \(25:24:7\) です。
青い長さは求める半径で、その長さが \(7\)(⑦)
赤い長さは \(25\) (㉕)です。
\(25+7=32\) (㉜)が、\(96-21×2=54(cm)\) です。

中学数学・高校受験chu-su- 円錐と内接球 追加 図3

\(54cm\) を \(25:7\) に比例配分します。

\(54×\displaystyle \frac{7}{25+7}=×\displaystyle \frac{189}{16}(cm)\)

これが、求める小さい球の半径です。

別解

別の部分の相似に着目する解法もあります。

下図のように相似になっています。
「三角形と内接円、合わせた図形」どうしが相似です。

中学数学・高校受験chu-su- 円錐と内接球 追加 図4

左の三角形の高さは、\(96cm\)
右の三角形の高さは、\(96-21×2=54(cm)\)
つまり、相似比は \(96:54=16:9\) です。

よって、内接円の相似比も \(16:9\) なので

\(21×\displaystyle \frac{9}{16}=×\displaystyle \frac{189}{16}(cm)\)

これが、求める小さい球の半径です。

スポンサーリンク





  • Facebook
  • Hatena
  • twitter
  • Google+

高校入試(高校受験)数学・対策問題







Copyright©中学数学の無料オンライン学習サイトchu-su- All Rights Reserved.