中学数学の基本から難問まで、解き方を分かりやすく解説

難問・正三角形の相似

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問題

正三角形 \(ABC\) は \(1\) 辺の長さは \(14cm\) で、\(AD=3cm,AE=8cm\) 、角 \(DEF=60°\) です。
以下のものを求めなさい。

(1)\(BG\) の長さ
(2)三角形 \(DEF\) の面積
(3)\(DE\) の長さ

中学数学・高校受験chu-su- 正三角形 相似 難問0

解説

(1)\(BG\) の長さ

三角形 \(ADE\) と三角形 \(CEG\) が相似です。角度を考察することでわかります。

\(AD\) と \(CE\) が対応する辺なので、相似比は \(3:6=1:2\)
より、\(EA×2=GC\)
\(GC=8×2=16\)

中学数学・高校受験chu-su- 正三角形 相似 難問1

よって、\(BG=GC-BC=16-14=2\)

以上求まりました。

(2)三角形 \(DEF\) の面積

\(AH=8cm\) となるように点 \(H\) をとると \(HE /\!/ GB\) なので、砂時計型相似ができます。緑と黄色の三角形です。

中学数学・高校受験chu-su- 正三角形 相似 難問2

相似比は \(HE:BG=8:2=4:1\)

\(FH\) と \(FB\) も対応する辺で、その長さの比は \(4:1\) なので、
より、\(FH=HB×\displaystyle \frac{4}{4+1}=6×\displaystyle \frac{4}{5}=4.8\)

三角形 \(DEF\) の面積は、\(DF\) を底辺、点 \(E\) を頂点と見ることで求められます。
三角形 \(DEF\) は正三角形 \(AHE\) と高さの等しい三角形です。

中学数学・高校受験chu-su- 正三角形 相似 難問3

底辺の比は、\(9.8:8\) なので、

三角形 \(DEF\) の面積は、正三角形 \(AHE\) の面積\(×\displaystyle \frac{9.8}{8}\) となります。

よって、\(8×8×\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}×\displaystyle \frac{1}{2}×\displaystyle \frac{9.8}{8}=\displaystyle \frac{98\sqrt{3}}{5}\)

以上求まりました!

別解1

下図のように、\(EI\) を引くことで、ピラミッド型相似から \(FB=1.2\) を求めて、
\(DF=9.8\) を得ることもできます。

中学数学・高校受験chu-su- 正三角形 相似 難問4

別解2

\(DF=9.8\) の後、内部底辺の利用で面積を求めることもできます。

中学数学・高校受験chu-su- 正三角形 相似 難問5

ピンク三角形 \(DFJ\) は三角定規型の有名三角形なので、\(DJ\) の長さが求まります。

\(DJ=9.8×\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\) です。

\(HE\) を内部底辺、\(DJ\) を高さとして、三角形 \(DEF\) の面積が求まります。

\(8×9.8×\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}×\displaystyle \frac{1}{2}=\displaystyle \frac{98\sqrt{3}}{5}\)

求まりました!

(3)\(DE\) の長さ

求める長さ \(DE\) と関連する情報を集めましょう。
何か解決の糸口が見つかるはずです。

1.\(DE\) は(2)で面積を出した三角形 \(DEF\) の辺だから、面積から逆算ででそうだ。
2.しかも三角形 \(DEF\) の角 \(E\) の大きさ \(60°\) も使えそう。

中学数学・高校受験chu-su- 正三角形 相似 難問6

つまり、\(FE\) の長さがわかれば解決しそうです。
\(FE\) の長さの情報は・・・

\(FG:FE=1:4\) でしたね。前に出てきた砂時計相似(ピラミッド相似)です。

他には・・・?

問題文に書いてあって、まだ使っていないこと、(1)(2)を解いている途中で分かったこと、これらの中から、パズルを解くための鍵を探すしかありません。

答えは、

ずばり、

三角形 \(ADE\) と三角形 \(CEG\) の相似です。
一番はじめに注目した相似です。相似比は \(1:2\) なので、
\(DE:EG=1:2\) です。

\(FG:FE=1:4\) と合わせると、下図のように長さをおけます。

中学数学・高校受験chu-su- 正三角形 相似 難問7

より、底辺が \(8x\) 、高さが \(5x×\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\) の三角形 \(DEF\) の面積が、\(\displaystyle \frac{98\sqrt{3}}{5}\) なので、

\(8x×5x×\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}×\displaystyle \frac{1}{2}=\displaystyle \frac{98\sqrt{3}}{5}\)

整理すると、

\(x^2=\displaystyle \frac{49}{25}\)

\(x=\pm \displaystyle \frac{7}{5}\)

\(x\) は正なので、

\(x= \displaystyle \frac{7}{5}\)

求める長さ、\(DE=5x\) とおいたので、

\(DE=5x=7\)

以上求まりました!

別解1

さて、上の考察をしているとき、以下のことに気づいたでしょうか?

三角形 \(ADE\) と三角形 \(CEG\) から、相似比は \(1:2\) なので、
\(DE:EG=1:2\)

その間の角が \(60°\) なので・・・

中学数学・高校受験chu-su- 正三角形 相似 難問8

三角形 \(GED\) は、正三角形を半分にした、三角定規型です!

中学数学・高校受験chu-su- 正三角形 相似 難問9

\(DEF×\displaystyle \frac{5}{4}=GED\)

\(GED×2=LGE\)

より、\(1\) 辺が \(2x\) の正三角形 \(LGE\) の面積は

\(\displaystyle \frac{98\sqrt{3}}{5}×\displaystyle \frac{5}{4}×2=49\sqrt{3}\)

\(1\) 辺が \(1\) の正三角形の面積は \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}\) なので、

面積比は \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}:49\sqrt{3}=\displaystyle \frac{1}{4}:49=(\displaystyle \frac{1}{2})^2:7^2\)

より、相似比は \(\displaystyle \frac{1}{2}:7\)

つまり、\(1:2x=\displaystyle \frac{1}{2}:7\)

よって、\(2x=14\)
\(x=7\)

\(DE=x=7\)

以上求まりました!

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