中学数学の基本から難問まで、解き方を分かりやすく解説

正六角形の有名な分割

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問題

下の図で、六角形 \(A,B,C,D,E,F\) は \(1\) 辺の長さが \(2cm\) の正六角形である。
この六角形の対角線 \(DB\) を半径とし、角 \(BDF\) を中心角とするおうぎ形 \(DBF\)
の面積を求めなさい。ただし、円周率を \(\pi\) とする。

中学数学・高校受験chu-su- 正六角形の性質1-1

解説

正六角形の重要性質ですが、下図のように
合同な正三角形 \(6\) つに分割されます。

中学数学・高校受験chu-su- 正六角形の性質2

本問は、 \(1\) 辺の長さが \(2cm\) の正六角形なので
正三角形の \(1\) 辺の長さも \(2cm\) です。
正三角形の高さは \(\sqrt{3}cm\) なので、
\(FD=\sqrt{3}×2=2\sqrt{3}(cm)\)

つまり、おうぎ形 \(DBF\) の半径の長さは、\(2\sqrt{3}cm\) です。

また、三角形 \(BDF\) は正三角形なので、
おうぎ形 \(DBF\) の中心角である角\(BDF\) は \(60°\) です。

中学数学・高校受験chu-su- 正六角形の性質3

よって、半径 \(2\sqrt{3}cm\) 中心角 \(60°\) のおうぎ形の面積は

\( (2\sqrt{3})^2 \pi ×\displaystyle \frac{60}{360}=2 \pi (cm^2)\)
と求まりました。

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