問題
赤色、青色、白色の同じ大きさの正方形のカードがたくさんある。下の図のように、これらのカードを次の規則にしたがって正方形状に並べていく。
規則
・はじめに赤色のカードを１枚並べる。これを１回目の操作とする。
・２回目の操作は、１回目の操作で並べたカードの外側に、青色のカードを３枚並べる。
・３回目の操作は、２回目の操作で並べたカードの外側に、白色のカードを５枚並べる。
・４回目の操作は、３回目の操作で並べたカードの外側に、赤色のカードを７枚並べる。
以下、５回目は青色のカードを９枚、６回目は白色のカードを11枚、・・・のように、赤色、青色、白色のカードの順でくり返し並べていく。
このとき、次の問いに答えなさい。
（１）10回目の操作で並べるカードは何枚か。
（２）何回目かの操作後、正方形状に並んでいるカードは全部で144枚であった。このとき、最後に並べたカードは何色か。
（３）カードを並べた順番をそのカードの番号とする。ｎ回目の操作において、最初に並べるカードの番号をＡ、ｎ番目に並べるカードの番号をＢ、最後に並べるカードの番号をＣとする。例えば、４回目の操作後に並んでいるカードの番号は、Ａ＝１０、Ｂ＝１３、Ｃ＝１６である。このとき、次の①②に答えよ。ただし、ｎは２以上の整数とする。
① Ｂをｎの式で表せ。
②ＡＢＣの間には「ＡとＢとＣの和は、３の倍数になる」という関係が成り立つ。このことをｎを用いて証明せよ。ただし、証明は結論だけでなく、考え方の過程がわかるように、途中の式なども書くこと。
解説
（１）10回目の操作で並べるカードは何枚か。
9回目の操作をすると、１辺が９の正方形ができます。
9回目までに、９×９＝81、全部で81枚のカードを並べました。
10回目の操作をすると、１辺が10の正方形ができます。
10回目までに、10×10＝100、全部で100枚のカードを並べました。
つまり、10回目の操作では、100－81=19
より、19枚のカードを並べました。
別解
１回目に１枚
２回目に３枚
３回目に５枚
４回目に７枚
となっていて、１，３，５，７・・・は奇数の列です。
n回目に2n-1枚並べるので、
10回目に、2×10-1=19、
より、19枚並べます。
参考知識
奇数の列の和は、平方数になります。
１
1+3=4
1+3+5=9
1+3+5+7=16
1+3+5+7+9=25
以下続く。
（２）全部で144枚並べたときの、最後に並べたカードの色。
144＝12×12
※暗記していますよね！？
つまり、12回目の操作後です。
最後の操作、つまり12回目の操作のときのカードの色を求めます。
カードの色は３周期です。
より、12回目の操作のときのカードの色は白色です。
※３で割ったときのあまりで分類されます。
例えば100回目の操作で並べる色は、100＝３×33＋１より、赤色です。
（３）①Ｂをｎの式で表せ。
Cは平方数となります。
n回目の操作が終わったとき、１辺がnの正方形が完成します。
１辺がnの正方形には、\(n^2\) 枚の小正方形を並べていて、最後がＣとなります。
つまり、\(C= n^2\) になります。
そして、ＢはＣから（n-1）引いた値になります。
より、\(B=n^2-(n-1)=n^2-n+1\)
②「ＡとＢとＣの和は、３の倍数になる」このことをｎを用いて証明せよ。
①より、
\(C= n^2\)
\(B=n^2-n+1\)
である。
あとは、Ａをnの式で表せば良い。
Ａは、Ｃの１つ前の平方数の次の数なので、
\(A=(n-1)^2+1=n^2-2n+1+1=n^2-2n+2\)
\(A=(n-1)^2 ＋１\)
\(B=n^2-n+1\)
\(C=n^2\)
あとは、ＡとＢとＣの和が３の倍数になることを示す。
３の倍数とは、「３×整数」なので、これを示します。
証明
\(A=n^2-2n+2\)
\(B=n^2-n+1\)
\(C= n^2\)
となる。
\(A+B+C=3n^2-3n+3=3(n^2-n+1)\)
nは２以上の整数なので、\(3(n^2-n+1)\)は３の倍数となる。
証明終了。
