中学数学の基本から難問まで、解き方を分かりやすく解説

【高校入試数学の難問】円・相似と三平方の定理の総合

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正解率 \(0\) %

岐阜県の公立高校の入試問題・数学で出題された難問です。
正解率 \(0\) %だったそうです。

難問ですが、決して意地悪な出題ではありません。

たくさんの要素がつまった良問です。
得るものが多い一題ですので、ぜひ何度も読み返して身につけてください!

問題

下の図で、 \(4\) 点 \(A,B,C,D\) は円 \(O\) の周上にあり、 \(AC\) は \(O\) の直径で、\(AH\) は三角形 \(ABD\) の頂点 \(A\) から辺 \(BD\) にひいた垂線である。また、直径 \(AC\) と \(BD\) の交点を \(E\) とする。\(AC=10cm\)、\(CD=6cm\)、\(\angle EAH=\angle DAH\) のとき、\(BE\) の長さを求めなさい。

中学数学・高校受験chu-su- 岐阜 円の総合 難問

解説

\(AC=10cm\)、\(CD=6cm\) と図にかきこめば、自然と下の赤い三角形に目が行きますね。
\(AC\) が直径なので、円周角の定理より、\(\angle ADC=90°\)
三平方の定理より \(AD=8cm\)

中学数学・高校受験chu-su- 岐阜 円の総合 難問2

また、\(\angle EAH=\angle DAH\) より、三角形 \(AED\) は二等辺三角形なので、\(AE=8, EC=2\)

中学数学・高校受験chu-su- 岐阜 円の総合 難問3

ここまでは迷わずこれますね。

次に見えるのは、円周角の定理より等しい大きさの角でしょう。
これも多くの類題と同タイプなので、すぐに反応できないといけません。

中学数学・高校受験chu-su- 岐阜 円の総合 難問5

このことから、三角形 \(ABE\) と三角形 \(DCE\) が相似であることがわかります。
これは他の問題でも非常によく出る図形です。

中学数学・高校受験chu-su- 岐阜 円の総合 難問6

※\(\angle ABE=\angle DCE\) も、弧 \(AD\) の円周角より等しいですね。

ここまでは難しいことはありません。普通レベルです。

ここからが本番です。
さて、どうやって解き進めたら良いのでしょうか・・・

解法1・式処理で押す!

図形的性質に気づくことで、スルッと解けるのが理想ですが、思いつかないときには式処理でガツガツ進めます。文字でおいて、方程式をたてるのです。

とにかく求めたい長さ、\(BE=x\) とおいてみましょう。
すると、\(AB=3x\) です。
これは、三角形 \(ABE\) と三角形 \(DCE\) が相似であり、青バツ(×)の角を挟む \(2\) 辺の長さの比が \(1:3\) だからです。

中学数学・高校受験chu-su- 岐阜 円の総合 難問7

さて、三角形 \(ABE\) と三角形 \(DCE\) が相似で相似比が \(x:2\) なので、

\(EA:ED=x:2\)

より、\(ED=EA×\displaystyle \frac{2}{x}=8×\displaystyle \frac{2}{x}=\displaystyle \frac{16}{x}\)

よって、\(EH=\displaystyle \frac{16}{x}×\displaystyle \frac{1}{2}=\displaystyle \frac{8}{x}\)

あとは、三平方の定理で解決します。

中学数学・高校受験chu-su- 岐阜 円の総合 難問9

緑三角形 \(ABH\) より、

\(AH=(3x)^2-(x+\displaystyle \frac{8}{x})^2\)

クリーム色三角形 \(AEH\) より、

\(AH=8^2-(\displaystyle \frac{8}{x})^2\)

よって、

\((3x)^2-(x+\displaystyle \frac{8}{x})^2=8^2-(\displaystyle \frac{8}{x})^2\)

あとは、この式を計算していくのみです。

\(9x^2-(x^2+16+\displaystyle \frac{64}{x^2})=64-\displaystyle \frac{64}{x^2}\)

\(9x^2-x^2-16-\displaystyle \frac{64}{x^2}=64-\displaystyle \frac{64}{x^2}\)

\(8x^2-16=64\)
\(x^2=10\)
\(x=\pm \sqrt{10}\)

もちろん \(x\) は正なので、

\(x= \sqrt{10}\)

これで求まりました!!

解法2・もう1つの相似

次に紹介する解き方は、おそらく作問者が想定していたであろう解法です。

珍しい相似に気づかなくてはならないため、入試本番中の焦っている中では、なかなか厳しいことでしょう。

ずばり、

下の直角三角形 \(2\) つが相似です。

中学数学・高校受験chu-su- 岐阜 円の総合 難問10

赤い直角三角形の辺の比は \(3:4:5\) なので、緑三角形 \(BHA\) の辺の比も \(3:4:5\) です。

より、\(AB:BH:HA=5:3:4\)
かつ、\(AB:BE=3:1\)・・・三角形 \(ABE\)と三角形 \(DCE\)が相似なので

より、\(AB=15x\) とすると、下図のようになります。

中学数学・高校受験chu-su- 岐阜 円の総合 難問11

さて、クリーム色の直角三角形 \(AEH\) に三平方の定理を使うと、

\((4x)^2+(12x)^2=8^2\)

\(160x^2=64\)

\(x^2=\displaystyle \frac{2}{5}\)

\(x=\pm \sqrt{\displaystyle \frac{2}{5}}=\pm \displaystyle \frac{\sqrt{10}}{5}\)

もちろん \(x\) は正なので、

\(x= \displaystyle \frac{\sqrt{10}}{5}\)

\(BE=5x=\sqrt{10}\)

これで求まりました!!

解法3・角の2等分と辺の比

図形の性質をさぐっているとき、以下のことに気づいたでしょうか?

中学数学・高校受験chu-su- 岐阜 円の総合 難問15

\(D\) の角に注目すれば、青丸オレンジ三角の和は \(90°\)
三角形 \(AHD\) の内角に注目すれば、赤丸オレンジ三角の和は \(90°\)

合わせて、青丸赤丸は等しい

中学数学・高校受験chu-su- 岐阜 円の総合 難問16

このことに気付いたのだけれど、まったく先に進めなかった・・・
という人もいることでしょう。

「角の2等分線と線分の比」についての知識があれば、力技で突破できます。

どこで役に立つかわかりません。
「角の2等分線と線分の比」を知らない人はおさえておきましょう。

三角形 \(ABH\) において \(AE\) が角 \(A\) の \(2\) 等分線なので、下図のように辺の長さをおけます。

中学数学・高校受験chu-su- 岐阜 円の総合 難問18

あとは、三平方の定理で解決します。
ここで、計算を簡単にするために、\(y=1\) のときの相似な三角形で長さを求めましょう。
三角形 \(AEH\) に三平方の定理を使うと、\(AE=\sqrt{10}\) なので、
これは、本来の図と相似比が \(8:\sqrt{10}\) です。

中学数学・高校受験chu-su- 岐阜 円の総合 難問19

三角形 \(ABH\) に三平方の定理を使うと

\((3z)^2=(z+1)^2+(3)^2\)

あとはこの \(2\) 次方程式を解きます。

\(9z^2=z^2+2z+1+9\)

\(8z^2=2z+10\)

\(4z^2-z-5=0\)
\((4z-5)(z+1)=0\) と因数分解できるのですが、これは中学生には厳しいですね。
解の公式で解くと、

\(z=\displaystyle \frac{5}{4},-1\)

\(z\) は正なので、\(z=\displaystyle \frac{5}{4}\)

本来の図と相似比が \(8:\sqrt{10}\) の図で求めたので、本来の図での \(BE\) の長さは、

\(\displaystyle \frac{5}{4}×\displaystyle \frac{8}{\sqrt{10}}=\sqrt{10}\)

これで求まりました!!

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