中学数学の基本から難問まで、解き方を分かりやすく解説

円すいの表面2回巻き

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立体の表面の最短距離

立体の表面を結ぶ線分を考えるとき、展開図をかいて考えます。
重要な解法テクニックであり、必ず暗記しておかねばなりません。

例題1

下の図のように、底面の半径が \(4cm\) で、母線の長さが \(24cm\) の円すいに、底面の点 \(A\) から側面を通って \(2\) 周糸をまきつけた。糸の長さが最も短くなるとき、 \(OB\) 上の点 \(P\) 、\(OA\) 上の点 \(Q\) を通った。\(AB\) は底面の円の直径である。
このとき、糸の長さを求めなさい。
また、\(OP,OQ\) の長さを求めなさい。

中学数学・高校受験chu-su- 円表面に糸を巻く 2周 その1

解答

糸が \(2\) 周とありますが、図からイメージできますか?

下図で説明すると、
赤色、\(A\) から \(P\) を通って \(Q\) までが \(1\) 周です。
オレンジ色、\(Q\) から \(P\) を通って \(A\) までで \(2\) 周です。

中学数学・高校受験chu-su- 円表面に糸を巻く 2周 その22

さて、円すいの展開図をかいて解きます。
展開図で考えるということは、暗記すべき解法知識ですね。
糸の通過している面のみをかけばよいので、
底面の円をかく必要はありません。側面のみをかきましょう。

そして、
側面は \(2\) つつなげてかきます。

赤の \(1\) 周目と、オレンジの \(2\) 周目は、別の側面に作図するのです。

とにかくやり方をみて理解・暗記してください!

側面はおうぎ形で、その中心角は

\(360×\displaystyle \frac{4}{24}=60°\)

より、中心角 \(60°\) のおうぎ形を \(2\) つ並べてかきます。

中学数学・高校受験chu-su- 円表面に糸を巻く 2周 その1-1

\(OA\) で切り開いた展開図を \(2\) つです。
組み立てたら一致する場所は同じ点です。

\(60°\)、\(120°\) の作図は、フリーハンドで練習しておきましょう。
厳密な作図である必要はありません。
正三角形をまず作図するのです。そこに弧をつけ足します。

中学数学・高校受験chu-su- 円表面に糸を巻く 2周 その1-2

糸の長さ

\(A\) から\(2\) 周後の \(A\) までを結ぶ最短距離は、一直線です。
よって、まきつけた糸は下図のようになっています。

中学数学・高校受験chu-su- 円表面に糸を巻く 2周 その2

この図は \(OA_{1}\) を軸に左右対称であり、四角形 \(OAA_{1}A_{2}\) はひし形です。
ひし形の対角線は直交します。このような図形的考察から、\(AQ\) が正三角形 \(OAA_{1}\) の高さになっていることがわかります。

よって、 \(AQ=24×\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}=12\sqrt{3}cm\)

まきつけた糸の長さは、\(AQ\) の \(2\) 倍なので、

\(12\sqrt{3}×2=24\sqrt{3}cm\)

求まりました。

\(OQ\) の長さ

\(OQ\) は \(OA_{1}\) の中点です。
上図から明らかですね。
よって、\(OQ=24×\displaystyle \frac{1}{2}=12cm\)

求まりました。

\(OP\) の長さ

母線 \(OB\) は、点 \(A\) と反対の位置にあります。
つまり、、点 \(A\) から底面の円をぐるり一周すると \(A\) にもどるのですが、そのちょうど半分の地点が点 \(B\) です。

つまり、中間地点なのです。
よって、 \(B,P\) は下図の位置にあります。

中学数学・高校受験chu-su- 円表面に糸を巻く 2周 その3

角度について考察すると、三角形 \(OPQ\) が、正三角形を半分にした直角三角形なので、
\(3\) 辺の辺の比は \(2:1:\sqrt{3}\) です。

中学数学・高校受験chu-su- 円表面に糸を巻く 2周 その4

よって、

\(OP=OQ×\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}=12×\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}=8\sqrt{3}cm\)

以上、求まりました。

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