作図・線対称と対頂角の利用

線対称と対頂角の利用

例題

下の図で、$\angle APX=\angle BPY$ となるような点 $P$ を、$XY$ 上に作図しなさい。

解説

作図方法がわからないとき、まずは完成形をラフスケッチします。
その完成形の図形的性質を探るのです。

上図をみて、何か思いつくことはないでしょうか。
なかなか難しいですね。

直線 $BP$ を延長してみましょう。
赤い角と青い角は対頂角で等しいので、赤い角とピンクの角が等しいならば、
青い角とピンクの角が等しいことになります。

つまり、下図のピンクと青い直線が、$XY$ を軸として線対称です。

よって、$A´$ を作図することができれば、点 $P$ を作図できます。

※ところで、この点 $P$ の位置は、$AP+BP$ が最短となる点 $P$ の位置と同じですね。

作図の方針がたちました。

１．点 $A$ と対称な点 $A´$ を、$XY$ を対称の軸としてとる。

２．直線 $A´B$ と 直線 $XY$ の交点を 点 $P$ とする。

作図

点 $A$ を中心に円かき、直線 $XY$ との交点をとる

直線 $XY$ との交点を中心に円を $2$ つかく
交点が $A´$

直線 $A´B$ と直線 $XY$ の交点が $P$

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