長方形に内接する2つの円

問題

下図のように、長方形の $2$ つの辺に内接する半径の等しい $2$ つの円があり、
円どうしも接しています。このとき、円の半径を求めなさい。

解説

求める円の半径を $rcm$ とします。

円と接線ですから、中心と接点を結びます。
基本知識です。

そして、$2$ つの円の中心どうしも結ぶと下図のようになります。

$r$ を求めるためには、 $16cm$ や $18cm$ と結びつけるしかありません。
青い点線を延長することで、
水色の直角三角形が内部に見えてきます。
これに三平方の定理を用います。

計算を楽にするために、$3$ 辺をすべて $2$ で割りましょう。

$\displaystyle \frac{1}{2}$ 倍の相似な図形で計算します。

$(8-r)^2+(9-r)^2=r^2$
$64-16r+r^2+81-18r+r^2=r^2$
$145-34r+r^2=0$
この $2$ 次方程式は、幸いなことに簡単に因数分解できます。
$(r-5)(r-29)=0$
$r=5,29$
$r$ は明らかに長方形の辺の長さより小さいので、
題意に合う $r$ は $5$
よって、
求める円の半径は$5cm$ です。

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