問題
Ａさんは、ある会社で勤務している。この会社では昼間に勤務する「日勤」、夜間に勤務する「夜勤」、そして「休み」の３種類の勤務形態があり、次のような順序をくり返して勤務することになっている。
Ａさんは１週目の日曜日から勤務を開始した。したがって、Ａさんの勤務表は表１のようになる。
勤務を開始した日（１週目の日曜日）を１日目として、次の問に答えなさい。
（１）40日目は何曜日か、答えなさい。また、この日の勤務形態は日勤、夜勤、休みのどれになるか、答えなさい。
（２）ｎ回目の夜勤が何日目であるか、勤務開始からの日数を調べたところ、表２のようになることがわかった。
① 表２のアにあてはまる数を求めなさい。
②ｎ回目の夜勤は何日目であるか、ｎを用いた式で表しなさい。
（３）日曜日が夜勤になる日について。
①はじめては何日目ですか。 29日目
②３回目は何日目ですか。 29＋35＋35＝99日目
解説
（１）40日目は何曜日？
曜日は、７ずつの周期。
よって、７で割ったときのあまりで分類されます。
40÷７＝５あまり５
より、40日目は木曜日です。
ちなみに、
日曜日は、７で割ったときのあまり１
月曜日は、７で割ったときのあまり２
火曜日は、７で割ったときのあまり３
水曜日は、７で割ったときのあまり４
木曜日は、７で割ったときのあまり５
金曜日は、７で割ったときのあまり６
土曜日は、７で割ったときのあまり０、あまりなし。
次に、勤務形態ですが、これは５ずつの周期。
よって、５で割ったときのあまりで分類されます。
40÷５＝８
つまり、あまり０です。
よって、40日目は休みです。
（２）②10回目の夜勤
表2を再掲します。
このアを求めるのです。
これは（１）で使った表の一部なのです。
アの求め方は２通り紹介します。
４、９、14・・・
という数の列は、５ずつ足すことで次の数になる列です。
10番目は、はじめの４に５を９回足した数になるので、
４＋５×９＝49
より、ア＝49と求まります。
別解
別解は、５ずつの周期であることを利用して、５の倍数に着目します。
下の表の、５の倍数が並ぶ列に着目するのです。
青い列には、５の倍数が並ぶので、アの右隣の数は、
5×10＝50
より、アは50のひとつ前、49と求まります。
（２）②ｎ回目の夜勤は何日目であるか、ｎを用いた式で表せ。
①と同様に解きます。
４、９、14・・・
という数の列は、５ずつ足すことで次の数になる列です。
n番目は、はじめの４に５を（n-1）回足した数になるので、
４＋５×（n-1）＝４＋５ｎ－５
＝５ｎ－１
より、５ｎ－１日目と求まります。
別解も①と同様です。
ｎ個目の５の倍数は、5n
より、5nのひとつ前、５ｎ－１と求まります。
（３）日曜日が夜勤になる日について。
①はじめては何日目ですか。
②３回目は何日目ですか。
曜日は、７ずつの周期。
勤務形態は、５ずつの周期。
この２種類の周期を合わせた周期の問題です。
このようなときは、最小公倍数です。
７と５の最小公倍数は35、よって、35ずつの周期となります。
ずばり図をかいて、目で見て確かめましょう。
この35日間で、１セットとなります。
６週目からは、１週目からと同じようにくりかえされていきます。
この表を見て答えを出します。
はじめて日曜日が夜勤になる日は、29日目です。
３回目に日曜日が夜勤になる日は、３セット目の同じ日なので、
35＋35＋29＝99
より、99日目です。
