円すいの表面２回巻き

立体の表面の最短距離

立体の表面を結ぶ線分を考えるとき、展開図をかいて考えます。
重要な解法テクニックであり、必ず暗記しておかねばなりません。

例題１

下の図のように、底面の半径が $4cm$ で、母線の長さが $24cm$ の円すいに、底面の点 $A$ から側面を通って $2$ 周糸をまきつけた。糸の長さが最も短くなるとき、 $OB$ 上の点 $P$ 、$OA$ 上の点 $Q$ を通った。$AB$ は底面の円の直径である。
このとき、糸の長さを求めなさい。
また、$OP,OQ$ の長さを求めなさい。

解答

糸が $2$ 周とありますが、図からイメージできますか？

下図で説明すると、
赤色、$A$ から $P$ を通って $Q$ までが $1$ 周です。
オレンジ色、$Q$ から $P$ を通って $A$ までで $2$ 周です。

さて、円すいの展開図をかいて解きます。
展開図で考えるということは、暗記すべき解法知識ですね。
糸の通過している面のみをかけばよいので、
底面の円をかく必要はありません。側面のみをかきましょう。

そして、
側面は $2$ つつなげてかきます。

赤の $1$ 周目と、オレンジの $2$ 周目は、別の側面に作図するのです。

とにかくやり方をみて理解・暗記してください！

側面はおうぎ形で、その中心角は

$360×\displaystyle \frac{4}{24}=60°$

より、中心角 $60°$ のおうぎ形を $2$ つ並べてかきます。

$OA$ で切り開いた展開図を $2$ つです。
組み立てたら一致する場所は同じ点です。

$60°$、$120°$ の作図は、フリーハンドで練習しておきましょう。
厳密な作図である必要はありません。
正三角形をまず作図するのです。そこに弧をつけ足します。

糸の長さ

$A$ から$2$ 周後の $A$ までを結ぶ最短距離は、一直線です。
よって、まきつけた糸は下図のようになっています。

この図は $OA_{1}$ を軸に左右対称であり、四角形 $OAA_{1}A_{2}$ はひし形です。
ひし形の対角線は直交します。このような図形的考察から、$AQ$ が正三角形 $OAA_{1}$ の高さになっていることがわかります。

よって、 $AQ=24×\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}=12\sqrt{3}cm$

まきつけた糸の長さは、$AQ$ の $2$ 倍なので、

$12\sqrt{3}×2=24\sqrt{3}cm$

求まりました。

$OQ$ の長さ

$OQ$ は $OA_{1}$ の中点です。
上図から明らかですね。
よって、$OQ=24×\displaystyle \frac{1}{2}=12cm$

求まりました。

$OP$ の長さ

母線 $OB$ は、点 $A$ と反対の位置にあります。
つまり、、点 $A$ から底面の円をぐるり一周すると $A$ にもどるのですが、そのちょうど半分の地点が点 $B$ です。

つまり、中間地点なのです。
よって、 $B,P$ は下図の位置にあります。

角度について考察すると、三角形 $OPQ$ が、正三角形を半分にした直角三角形なので、
$3$ 辺の辺の比は $2:1:\sqrt{3}$ です。

よって、

$OP=OQ×\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}=12×\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}=8\sqrt{3}cm$

以上、求まりました。

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