問題
赤、白、青の３種類の長方形のカードを、次の手順にしたがって並べて長方形を作る。このとき、あとの問いに答えなさい。ただし、３種類のカードの縦の長さはすべて６ｃｍで、横の長さは、赤は１ｃｍ、白は３ｃｍ、青は５ｃｍである。
手順
「１番の長方形」は赤のカードを置く。
「２番の長方形」は「１番の長方形」の右端にすき間がないように、白のカードを並べて作る。
「３番の長方形」は「２番の長方形」の右端にすき間がないように、青のカードを並べて作る。
「４番の長方形」は「３番の長方形」の右端にすき間がないように、赤のカードを並べて作る。
以下、同様に、「Ｎ番の長方形」は「（Ｎ－１）番の長方形」の右端にすき間がないように、カードを並べて作ります。カードの色は、赤、白、青、赤、白、青・・・の順です。
（１）「17番の長方形」を作ったとき、一番右端に並べたカードの色は何か求めなさい。
（２）「22番の長方形」の横の長さを求めなさい。
（３）一番右端に赤色のカードを並べて作った長方形で、使った赤のカードの総数が \(n\) 枚であるとき、この長方形の面積を \(n\) を使った式で表しなさい。
解説
（１）「17番の長方形」の右端の色
赤、白、青の３つ周期です。
「周期」は問題を解くための最重要のカギとなります。
左から何枚目が何色なのかを表にすると下のようになります。
周期３なので、３個で１列の表になります。
と続きます。
17までかき出すことも容易いですね。
答えは白です。
ところで、「1000番の長方形」の右端の色を求めるとしたら・・・
かき出して求めるのはいやですね。
計算で求める方法は、表をたてに見ます。
これは、３で割ったときのあまりで分類されているのです。
赤は３で割ると１余る数
白は３で割ると２余る数
青は３で割ると０余る数、つまり割り切れる数
より、「1000番の長方形」の右端の色は、
1000÷３＝333あまり１
より、赤です。あまりが１なので、赤なのです。
（２）「22番の長方形」の横の長さ。
これも周期の利用です。「赤白青」と３枚並べると、横の長さは、１＋３＋５＝９ \(cm\) です。これを１セットとします。
21枚目の青までで、21÷３＝７
より、７セットあります。
つまり、「赤白青」の９ \(cm\) が７セットと、最後に赤の１cmが１枚です。
より、９×７＋１＝64 \(cm\) です。
（３）一番右端が赤色で赤のカードの総数が \(n\) 枚であるとき、この長方形の面積
赤１枚のとき横は、１cm
赤２枚のとき横は、（１＋３＋５）＋1＝10cm
赤３枚のとき横は、（１＋３＋５）＋（１＋３＋５）＋１＝19cm
より、９cmずつ増えます。
等差数列といいます。
赤が \(n\) 枚のとき横の長さは、
（１＋３＋５）×(n-1)＋１＝9(n-1)＋１＝９ｎ－８（cm）
このときの長方形の面積は、
６×（９n－８）
これで求まりました。
スポンサーリンク
