内部底辺の利用

問題

下図のように、線分$BE,BH$ によって、長方形 $ABCD$ の角 $B$ が $3$ 等分されています。$EG$ と $BC$ は垂直です。

三角形 $EBH$ と三角形 $HBC$ の面積比が $8:9$ のとき次の問いに答えなさい。

（１）$EF:FG$ を求めなさい。
（２）$DH:HC$ を求めなさい。

解説

(1) $EF:FG$

赤丸の角度は、直角の $3$ 等分ですので、$30°$ ずつです。

よって、三角形 $FBG$ は正三角形を半分にした、有名三角形です。三角定規型です。
より、$BF:FG$ は $2:1$

また、角度の考察をすると、三角形 $FEB$ が二等辺三角形であることがわかります。

よって、$EF:FG=2:1$
求まりました！

参考

この図形配置は、正三角形の重心と関連しています。
下図の点 $F$ を正三角形 $EBI$ の重心といいます。
もちろん、$EF:FG=2:1$ です。

（２）$DH:HC$

（２）を解くために、（１）の結論を使うことは非常に多いので、どう使うのかを考えます。

三角形 $EBH$ と三角形 $HBC$ の面積比が $8:9$ ということですが、（１）の結論とどう結びつけるのか・・・

赤い三角形 $EBH$ を $FDA$ に等積変形します。

これで、面積 $8$ と、$EF$ の長さ $2$ がつながりました。
※正確には長さの比ですが。

つまり、$EF:FG=2:1$ は下図の面積比につながります。

三角形 $HBC$ の面積は $9$ でしたから、水色の三角形 $HFC$ の面積は $9-4=5$

ここで、$BF,FH$ を底辺とみれば、高さの等しい $2$ つの三角形の面積比が $4:5$
つまり、底辺の比も $4:5$ です。
序盤に $BF=2$ としたので、$2:2.5$ と図には入れておきます。
※もちろん、ここから序盤の数字をかえて解いてもＯＫです。比を変化させなければ良いのです。

で、結局何が最終目標なのかと言えば・・・$DH:HC$ です。
そろそろ、$DH:HC$ に繋がりますね。

下図のようなピラミッド型相似です。

水色とオレンジの直角三角形が相似で、相似比は対応する辺からわかります。

$BF:BH=2:2+2.5=4:9$

$HC=FG×\displaystyle \frac{9}{4}=1×\displaystyle \frac{9}{4}=\displaystyle \frac{9}{4}=2.25$

よって、$DH=3-2.25=0.75$
$DH:HC=0.75:2.25=1:3$

以上、求まりました！

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