中学数学の基本から難問まで、解き方を分かりやすく解説

円錐と内接球・その2

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問題

下の図のように、底面の半径が \(28cm\),母線の長さが \(100cm\) の円錐に
\(2\) つの球が内接しています。球と球も接しています。
このとき、小さい球の半径を求めなさい。

中学数学・高校受験chu-su- 円錐と内接球 追加 図1

解説

円錐と内接球・その1の追加問題です。

下の大きい球の半径は、
問題1と完全に同じ求め方により、\(21cm\) と求まります。

ここまで求めた状態から、次に上の小さい球の半径を求めます。
下の図のようになっています。

中学数学・高校受験chu-su- 円錐と内接球 追加 図2

この図における相似な直角三角形たちは、 \(3\) 辺の比が \(25:24:7\) であり、
下図の水色の直角三角形も\(3\) 辺の比が \(25:24:7\) です。
青い長さは求める半径で、その長さが \(7\)(⑦)
赤い長さは \(25\) (㉕)です。
\(25+7=32\) (㉜)が、\(96-21×2=54(cm)\) です。

中学数学・高校受験chu-su- 円錐と内接球 追加 図3

\(54cm\) を \(25:7\) に比例配分します。

\(54×\displaystyle \frac{7}{25+7}=×\displaystyle \frac{189}{16}(cm)\)

これが、求める小さい球の半径です。

別解

別の部分の相似に着目する解法もあります。

下図のように相似になっています。
「三角形と内接円、合わせた図形」どうしが相似です。

中学数学・高校受験chu-su- 円錐と内接球 追加 図4

左の三角形の高さは、\(96cm\)
右の三角形の高さは、\(96-21×2=54(cm)\)
つまり、相似比は \(96:54=16:9\) です。

よって、内接円の相似比も \(16:9\) なので

\(21×\displaystyle \frac{9}{16}=×\displaystyle \frac{189}{16}(cm)\)

これが、求める小さい球の半径です。

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