中学数学の基本から難問までの問題と分かりやすい解説を掲載した完全無料のオンライン学習ページです。

【中学数学】三平方の定理・特別な直角三角形

三角定規型

暗記しておくべき直角三角形があります。

それは三角定規の形です。
三角定規は \(2\) 種類あります。

その \(2\) 種類は必ず暗記すべき特別な直角三角形です。

45° 45° 90°

まずはじめに直角二等辺三角形タイプです。
これは「正方形半分タイプ」という名前でも覚えておきましょう。
\(3\) 辺の比が、\(1:1:\sqrt{2}\) となることも暗記です。
もちろん暗記していなくとも三平方の定理で導けるのですが・・・
非常によく使うので暗記すべきです。

辺の比と角度、両方暗記しておきましょう。

中学数学・高校受験chu-su- 三平方の定理 三角定規 30度 60°度 正方形の半分

30° 60° 90°

次に、「正三角形半分タイプ」です。
\(3\) 辺の比が、\(1:2:\sqrt{3}\) となることも暗記です。
もちろん暗記していなくとも三平方の定理で導けるのですが・・・
非常によく使うので暗記すべきです。

辺の比と角度、両方暗記しておきましょう。

中学数学・高校受験chu-su- 三平方の定理 三角定規 30度 60°度 正三角形の半分

これらの \(2\) つがなぜ大事なのかといえば、身もふたもなく

「非常によく出題されるから」です。
テストに。入試に。
もうめちゃくちゃ大事です。絶対暗記しなくてはいけません。

3辺が整数になるタイプ

三角定規型ほどの重要度はありませんが、次の直角三角形も覚えておいて損はありません。

\(3\) 辺の長さの比が、\(3:4:5\)
\(3\) 辺の長さの比が、\(5:12:13\)
となる直角三角形です。

中学数学・高校受験chu-su- 三平方の定理 3:4:5 5:12:13

このように\(3\) 辺の長さの比が、すべて整数になるのはなかなか珍しいことなのです。
※\(3\) 辺の長さの比が、整数になる直角三角形をピタゴラス三角形といいます。他にも、\(7:24:25\) など、無数のピタゴラス三角形があります。 

例題1

下の図の、\(x,y\) の値をそれぞれ求めなさい。

中学数学・高校受験chu-su- 三平方の定理 三角定規 例題1 図1

解答

左の直角三角形は、正三角形を半分にしたものです。
\(3\) 辺の比は暗記で、\(2:1:\sqrt{3}\) です。
よって、下の図のように長さが決まります。
\(x=3\sqrt{3}\) です。

中学数学・高校受験chu-su- 三平方の定理 三角定規 例題1 図2

右の直角三角形は、正方形を半分にした直角二等辺三角形です。
\(3\) 辺の比は暗記で、\(1:1:\sqrt{2}\) です。
よって、下の図のように長さが決まります。
\(y=3\sqrt{6}\) です。

中学数学・高校受験chu-su- 三平方の定理 三角定規 例題1 図3

例題2

下の図の、\(x\) の値を求めなさい。

中学数学・高校受験chu-su- 三平方の定理 三角定規 例題2 図1

解答

\(30°\) とあるのですから、三角定規型を使うに決まっています。
下の図のように補助線を引きます。

中学数学・高校受験chu-su- 三平方の定理 三角定規 例題2 図2

左の直角三角形が正三角形を半分にしたものです。
\(3\) 辺の比は暗記で、\(2:1:\sqrt{3}\) です。

次に、右の直角三角形に三平方の定理を使うと、
最後の \(1\) 辺の長さが求まります。

中学数学・高校受験chu-su- 三平方の定理 三角定規 例題2 図3

最後の \(1\) 辺の長さを \(y\) とすると
\(y^2+8^2=10^2\)
\(y^2+64=100\)
\(y^2=36\)
\(y=±\sqrt{36}\)
\(=±6\)
この問題では、もちろん \(y\) は正の値なので
\(y=6\)

よって、\(x=8\sqrt{3}+6\)
これで求まりました。

3:4:5タイプに気づいた?

例題2の \(y\) の値は、右の直角三角形が、
辺の比 \(3:4:5\) タイプであることに気づけば、
三平方の定理を用いずに求められます。
\(y:8:10=3:4:5\)
なので
\(y=6\)


  • 次のページ 三平方の定理・円と接線、弦
  • 前のページ 三平方の定理の証明
    • Facebook
    • Hatena
    • twitter
    • Google+

    中学3年数学の解説







    Copyright©中学数学の無料オンライン学習サイトchu-su- All Rights Reserved.