中学数学の基本から難問までの問題と分かりやすい解説を掲載した完全無料のオンライン学習ページです。

【中学数学】\(\sqrt{ }\) が整数となるような \(n\)

例題1

次の数が自然数となるような \(n\) をすべてもとめなさい。
\(\sqrt{30-7n}\)

解説

順に調べていくのみです。
\(\sqrt{A^2}=A\) なので、ルートの中が平方数になるかどうかを調べるのみです。

\(n=1\) のとき

\(\sqrt{30-7×1}=\sqrt{23}\)
これは適さない。

\(n=2\) のとき

\(\sqrt{30-7×2}=\sqrt{16}=4\)
これは適する。

\(n=3\) のとき

\(\sqrt{30-7×3}=\sqrt{9}=3\)
これは適する。

\(n=4\) のとき

\(\sqrt{30-7×4}=\sqrt{2}\)
これは適さない。

\(n \geqq 5\) のときはルートの中が負になるため不適。

よって、求める答えは、\(n=2,3\)

例題2

次の数が自然数となるような \(n\) のうちで、もっとも小さい数をもとめなさい。
\(\sqrt{12n}\)

解説

もちろん \(\sqrt{A^2}=A\) となることを利用します。

つまり、 \(12n\) が平方数になるような \(n\) のうち、もっとも小さい数が答えとなります。

平方根の中を簡略化する方法は習得しましたね?
これを用いて、簡略化しましょう。
\(\sqrt{12n}\)
\(=\sqrt{4×3n}\)
\(=\sqrt{4}×\sqrt{3n}\)
\(=2\sqrt{3n}\)

これが自然数となるためには、当然ですが、\(\sqrt{3n}\) が自然数になればよいです。
\(\sqrt{A^2}=A\)  なのですから、
\(\sqrt{3n}\) が自然数になるのは、\(n=3\) のときです。

さらなる考察で理解を深める!

ちなみに、\(\sqrt{3n}\) が自然数になるような \(n\) は無限にあります。
もっとも小さい数は上で見た通りの \(n=3\) ですが、
他はどうなっているのか見ておきましょう。

\(\sqrt{3n}\) が自然数になるのは、
\(\sqrt{3n}=\sqrt{3×3×m^2}\) となるときで、
\(\sqrt{3n}=\sqrt{3×3×m^2}=3m\) となります。

つまり、\(n=3×m^2\) となるときに、 \(\sqrt{12n}=2\sqrt{3n}\) は自然数になります。

よって、
\(n=3×1^2=3\)
\(n=3×2^2=12\)
\(n=3×3^2=27\)
\(n=3×4^2=48\)
のように、無限に続いていきます。

例題3

次の数が自然数となるような \(n\) をすべてもとめなさい。
\(\sqrt{\displaystyle \frac{180}{n}}\)

解説

例題2と同様ですが、簡略化できるときに簡略化するのはあたりまえですよね。

\(\sqrt{\displaystyle \frac{180}{n}}\)

\(=\displaystyle \frac{\sqrt{180}}{\sqrt{n}}\)

\(=\displaystyle \frac{\sqrt{36×5}}{\sqrt{n}}\)

\(=\displaystyle \frac{\sqrt{36}×\sqrt{5}}{\sqrt{n}}\)

\(=\displaystyle \frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{n}}\)

さて、これが自然数となるためには、
分子の \(\sqrt{5}\) が約分で消えればよいことがわかります。

よって、\(n=5\) のときが答えであることがわかります。

これで解決!とはいかないことは感づいていますか?
問題文に、「すべてもとめなさい。」とあります。
これは、答えが複数あることを予感させますね。

あらためて、簡略化した式の最後とにらめっこをします。

\(\displaystyle \frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{n}}=自然数\)

これが自然数となるのは、
\(\displaystyle \frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=6\)

\(\displaystyle \frac{6\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=3\)

\(\displaystyle \frac{6\sqrt{5}}{3\sqrt{5}}=2\)

\(\displaystyle \frac{6\sqrt{5}}{6\sqrt{5}}=1\)

の4通りです。

つまり、

\(\displaystyle \frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=6\) のとき

\(6=\displaystyle \frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\)
このとき \(n=5\)

\(\displaystyle \frac{6\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=3\) のとき

\(3=\displaystyle \frac{6\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\displaystyle \frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{20}}\)
このとき \(n=20\)

\(\displaystyle \frac{6\sqrt{5}}{3\sqrt{5}}=2\) のとき

\(2=\displaystyle \frac{6\sqrt{5}}{3\sqrt{5}}=\displaystyle \frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{45}}\)
このとき \(n=45\)

\(\displaystyle \frac{6\sqrt{5}}{6\sqrt{5}}=1\) のとき

\(1=\displaystyle \frac{6\sqrt{5}}{6\sqrt{5}}=\displaystyle \frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{180}}\)
このとき \(n=180\)

より、求める答えは、\(n=5,20,45,180\) です。

別解

最後のところ、\(n=5\) 以外の答えがあることに気づきにくいでしょうか。
上と本質的にはまったく同一の解法ですが、見た目が違うものを紹介します。

\(\sqrt{A^2}=A\) なので、
\(\sqrt{\displaystyle \frac{180}{n}}=\sqrt{A^2}\)
となればよいですね。

つまり \(\displaystyle \frac{180}{n}=A^2\) です。

180を素因数分解してかきなおすと、
\(\displaystyle \frac{180}{n}=\displaystyle \frac{2^2×3^2×5}{n}\)

つまり、分子の \(2^2×3^2×5\) が、約分によって平方数になればよいことがわかります。

以下の4パターンあることになります。

\(5\) で約分

\(5\) で約分。分子に\(2^2×3^2\) が残る。
つまり、 \(n=5\)

\(5×2^2\) で約分

\(5×2^2\) で約分。分子に\(3^2\) が残る。
つまり、 \(n=5×2^2=20\)

\(5×3^2\) で約分

\(5×3^2\) で約分。分子に\(2^2\) が残る。
つまり、 \(n=5×3^2=45\)

\(5×2^2×3^2\)

\(5×2^2×3^2\) で約分。分子に\(1\) が残る。
つまり、 \(n=5×2^2×3^2=180\)

はじめの解法と、どちらが気づきやすいでしょうか?
どちらでもかまいません。
自分がやりやすいほうで解きましょう。

スポンサーリンク





  • 次のページ 平方根のおよその値
  • 前のページ 平方根の大小
    • Facebook
    • Hatena
    • twitter
    • Google+

    中学3年数学の解説







    Copyright©中学数学の無料オンライン学習サイトchu-su- All Rights Reserved.