中学数学の基本から難問までの問題と分かりやすい解説を掲載した完全無料のオンライン学習ページです。

【中学数学】 \(y=ax^2\) 放物線と直線の交点

放物線と直線の交点

放物線と直線の交点は、連立方程式で求まります。

直線と直線の交点を求めるのと同じことです。

例題1

放物線 \(y=x^2\) と直線 \(y=x+2\) の交点の座標を求めなさい。

解説

放物線 \(y=x^2\) と直線 \(y=x+2\) の交点を点 \(P\) とします。
点 \(P\) の \(x\) 座標を \(p\) とすると、
点 \(P\) は放物線 \(y=x^2\) 上の点なので、\(P(p,p^2)\) と表せます。
また、点 \(P\) は直線 \(y=x+2\) 上の点なので、\(P(p,p+2)\) と表せます。

どちらも同じ点 \(P\) の座標なので、 \(y\) 座標は等しいわけです。
つまり、\(p^2=p+2\) です。

この \(2\) 次方程式を解けば、交点 \(P\) の \(x\) 座標 \(p\) が求まります。

\(p^2=p+2\)
\(p^2-p-2=0\)
\((p+1)(p-2)=0\)
より、
\(p=-1,2\)

あれ、 \(2\) つ求まりましたね。
そうです、交点は \(2\) つなのです。
求まった \(x\) 座標 \(-1,2\) をそれぞれ直線 \(y=x+2\) に代入して
座標を求めます。

\((-1,1)\) と \((2,4)\) です。

もちろん \(x\) 座標 \(-1,2\) を放物線 \(y=x^2\) に代入して
座標を求めてもOKです。

下図のようになっています。

中学数学・高校受験chu-su- 2次関数 放物線と直線の交点1

交点の求め方・まとめ

交点の座標は \(2\) 次方程式を解くことで得られました。
あの式って結局、放物線 \(y=x^2\) と直線 \(y=x+2\) の式を連立したものです。
つまり、
\(y=x^2\)
\(y=x+2\)
を連立して解くと、交点の座標が求まるということです。

\(y\) を消せば、 \(x^2=x+2\) という \(2\) 次方程式になります。
さきほど解いた \(2\) 次方程式と同一のものですね。

交点 とは、上の \(2\) つの式を満たす \(x\) と \(y\) を座標に持つのですから、
連立すれば求まるのは当たり前ですね!

例題2

放物線 \(y= \displaystyle \frac{1}{2} x^2\) と直線 \(y=x+4\) の交点の座標を求めなさい。

解説

交点を求めるには、式を連立します。

\(y= \displaystyle \frac{1}{2} x^2\) と \(y=x+4\) から \(y\) を消すと

\( \displaystyle \frac{1}{2} x^2=x+4\)

両辺を \(2\) 倍すると

\(x^2=2x+8\)
\(x^2-2x-8=0\)
\((x+2)(x-4)=0\)
よって
\(x=-2,4\)
これを \(y=x+4\) に代入して、
\((-2,2),(4,8)\) と交点が求まりました。

中学数学・高校受験chu-su- 2次関数 放物線と直線の交点2

※放物線と直線は、交わらないこともあります。
\(1\) 点でのみ交わることもあります。このとき、放物線と直線は接するといい、
接している点を接点といいます。交点とはいいません。

スポンサーリンク





2乗に比例のトップページ

  • Facebook
  • Hatena
  • twitter
  • Google+

中学3年数学の解説







Copyright©中学数学の無料オンライン学習サイトchu-su- All Rights Reserved.