例題１
\(1\) 辺が \(6cm\) の正方形 \(ABCD\) とその辺上を動く\(2\) 点 \(P,Q\) がある。点\(P\) は秒速\(2cm\) で、点 \(Ｂ\) を出発して \(A\) を通り、点 \(D\) まで動く。点 \(Q\) は点 \(P\) と同時に \(B\) を出発し、秒速\(1cm\) で点 \(C\) まで動く。\(2\) 点 \(P,Q\) が同時に \(B\) を出発してから \(x\) 秒後の三角形 \(BPQ\) の面積を \(ycm^2\) とする。次の問いに答えなさい。
① 点 \(P\) が辺 \(AB\) 上を動くとき、\(y\) を \(x\) の式で表しなさい。
また、\(x\) の変域を求めなさい。
② 点 \(P\) が辺 \(AD\) 上を動くとき、\(y\) を \(x\) の式で表しなさい。
また、\(x\) の変域を求めなさい。
③ \(y\) と \(x\) の関係を表すグラフをかきなさい。
解説
① 点 \(P\) が辺 \(AB\) 上を動くとき
点\(P\) は秒速 \(2cm\) なので、\(A\) に\(6÷2=3\) (秒)でつきます。
よって、\(x\) の変域は、\(0 \leqq x \leqq 3\) です。
また、点 \(P\) が辺 \(AB\) 上を動くとき、
三角形 \(BPQ\) は下図のようになります。
点\(P\) は秒速\(2cm\) で \(x\) 秒進むと、\(2xcm\) 進み
点\(Q\) は秒速\(1cm\) で \(x\) 秒進むと、\(xcm\) 進む。
よって、\(x\) 秒後の三角形 \(BPQ\) の面積 \(ycm^2\) は
\(y=x×2x×\displaystyle \frac{1}{2}=x^2\)
よって求める式は
\(y=x^2\)
② 点 \(P\) が辺 \(AD\) 上を動くとき
\(3\) 秒で \(A\) に着いた点 \(P\) は秒速 \(2cm\) で、\(D\) に向かいます。
\(A\) を通過後、\(6÷2=3\) (秒)で \(D\) につきます。
よって、\(x\) の変域は、\(3 \leqq x \leqq 6\) です。
また、点 \(P\) が辺 \(AD\) 上を動くとき、
三角形 \(BPQ\) は下図のようになります。
底辺 \(xcm\) 、高さ \(6cm\) の三角形なので、その面積は
\(y=x×6×\displaystyle \frac{1}{2}=3x\)
よって求める式は
\(y=3x\)
③ \(y\) と \(x\) の関係を表すグラフ
①、②で求めたものをグラフにします。
\(y=x^2 (0 \leqq x \leqq 3)\)
\(y=3x (3 \leqq x \leqq 6)\)
をグラフにします。
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