中学数学の基本から難問まで、解き方を分かりやすく解説

【中学数学】2乗に比例の利用・動点・その1

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例題1

たてが \(10cm\) ,よこが \(15cm\) の長方形 \(ABCD\) で、点\(P\) は点 \(B\) を出発して秒速 \(2cm\) で辺 \(BA\) 上を \(A\) まで動き、点 \(Q\) は点 \(P\) と同時に \(B\) を出発して、秒速 \(3cm\) で辺 \(BC\) 上を \(C\) まで動く。\(2\) 点 \(P,Q\) が同時に \(B\) を出発してから \(x\) 秒後の三角形 \(BPQ\) の面積を \(ycm^2\) とする。次の問いに答えなさい。

中学数学・高校受験chu-su- 2乗に比例 動点 1-1
① \(y\) を \(x\) の式で表しなさい。
② \(x,y\) の変域をそれぞれ求めなさい。
③ \(y\) と \(x\) の関係を表すグラフをかきなさい。

解説

① \(y\) を \(x\) の式で表しなさい。

\(x\) 秒後の図は以下のようになります。
点\(P\) は秒速\(2cm\) で \(x\) 秒進むので、 \(2x(cm)\)
点 \(Q\) は秒速\(3cm\) で \(x\) 秒進むので、 \(3x(cm)\)
それぞれ進んでいます。

中学数学・高校受験chu-su- 2乗に比例 動点 1-2

このときの三角形 \(BPQ\) の面積 \(ycm^2\) は
\(y=2x× 3x×\displaystyle \frac{1}{2}=3x^2\)
よって、
\(y=3x^2\)
が求める式になります。

② \(x,y\) の変域をそれぞれ求めなさい。

\(x\) は \(2\) 点 \(P,Q\) が出発から、ゴールするまでの間になります。
点\(P\) は秒速\(2cm\) で進むので \(A\) まで動くのに \(5\) 秒かかる。
点 \(Q\) は秒速\(3cm\) で進むので \(C\) まで動くのに \(5\) 秒かかる。
よって、\(x\) の変域は
\(0 \leqq x \leqq 5\)

\(y\) の変域は、①で求めた式に、\(x=0\) と \(x=5\) を代入して求めます。
\(x=0\) のとき、\(y=0\)
\(x=5\) のとき、\(y=3×5^2=75\)
よって、\(y\) の変域は
\(0 \leqq x \leqq 75\)

※\(y\) の変域は、③のグラフをすでに想定しているからこそです。
常に増加し続けるということを暗黙の前提として解いています。

三角形の面積が最大になるのは、\(x=5\) のときで下図のようになります。

中学数学・高校受験chu-su- 2乗に比例 動点 1-3

③ \(y\) と \(x\) の関係を表すグラフをかきなさい。

①で求めた式、\(y=3x^2\) のグラフを
②で求めた変域の範囲でかきます。

中学数学・高校受験chu-su- 2乗に比例 動点0001

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