中学数学の基本から難問まで、解き方を分かりやすく解説

【中学数学】2次方程式の文章題 動点

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例題1

たてが \(12cm\),よこが \(18cm\) の長方形 \(ABCD\) で、点 \(P\) は点 \(B\) を出発して秒速 \(2\) cmで辺 \(AB\) 上を \(A\) まで動き、点 \(Q\) は点 \(P\) と同時に \(A\) を出発して、秒速 \(3cm\) で辺 \(AD\) 上を動く。三角形 \(APQ\) の面積が \(24cm^2\) になるのは、点 \(P,Q\) が出発してから何秒後か求めなさい。

中学数学・高校受験chu-su- 2次方程式 動点 図1-1-2

解説

\(x\) 秒後の図は以下のようになっている。

中学数学・高校受験chu-su- 2次方程式 動点 図1-2

よって、以下のような模範解答例となる。

解答例

点 \(P,Q\) が出発してからの時間を \(x\) 秒とすると、
\(\displaystyle \frac{3}{2}x(12-2x)=24\)
\(x(6-x)=8\)
\(x^2-6x+8=0\)
\((x-2)(x-4)=0\)
\(x=2,4\)
\(x\) は \(0\) から \(6\) なので、
どちらも問題に適している。
よって、\(2\) 秒後と \(4\) 秒後

中学数学・高校受験chu-su- 2次方程式 動点 図1-3-2

例題2

たてが \(60cm\),よこが \(80cm\) の長方形 \(ABCD\) で、点 \(P\) は点 \(B\) を出発して秒速 \(3\) cmで辺 \(BA\) 上を \(A\)まで動き、点 \(Q\) は点 \(P\) と同時に \(D\) を出発して、秒速 \(4cm\) で辺 \(DA\) 上を \(A\) まで動く。三角形 \(APQ\) の面積が \(150cm^2\) になるのは、点 \(P,Q\) が出発してから何秒後か求めなさい。

中学数学・高校受験chu-su- 2次方程式 動点 図2-1

解説

\(x\) 秒後の図は以下のようになっている。

中学数学・高校受験chu-su- 2次方程式 動点 図2-3

よって、以下のような模範解答例となる。

解答例

点 \(P,Q\) が出発してからの時間を \(x\) 秒とすると、
\(\displaystyle \frac{1}{2}(60-3x)(80-4x)=150\)・・・①
\((60-3x)=3(20-x)\) , \((80-4x)=4(20-x)\) なので
①式は
\(\displaystyle \frac{1}{2}×3(20-3)×4(20-x)=150\)
\((20-x)^2=25\)
\(20-x=±\sqrt{25}\)
\(20-x=±5\)
\(-x=-20±5\)
\(x=20±5\)
\(x=15,25\)

\(x\) は \(0\) から \(20\) なので、
\(x=15\) のみ問題に適している。
よって、\(15\) 秒後

中学数学・高校受験chu-su- 2次方程式 動点 図2-4

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