中学数学の基本から難問まで、解き方を分かりやすく解説

【中学数学】2乗に比例の利用・動点・その2

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例題1

\(1\) 辺が \(6cm\) の正方形 \(ABCD\) とその辺上を動く\(2\) 点 \(P,Q\) がある。点\(P\) は秒速\(2cm\) で、点 \(B\) を出発して \(A\) を通り、点 \(D\) まで動く。点 \(Q\) は点 \(P\) と同時に \(B\) を出発し、秒速\(1cm\) で点 \(C\) まで動く。\(2\) 点 \(P,Q\) が同時に \(B\) を出発してから \(x\) 秒後の三角形 \(BPQ\) の面積を \(ycm^2\) とする。次の問いに答えなさい。

中学数学・高校受験chu-su- 2乗に比例 動点2-1

① 点 \(P\) が辺 \(AB\) 上を動くとき、\(y\) を \(x\) の式で表しなさい。
  また、\(x\) の変域を求めなさい。
② 点 \(P\) が辺 \(AD\) 上を動くとき、\(y\) を \(x\) の式で表しなさい。
  また、\(x\) の変域を求めなさい。
③ \(y\) と \(x\) の関係を表すグラフをかきなさい。

解説

① 点 \(P\) が辺 \(AB\) 上を動くとき

点\(P\) は秒速\(2cm\) なので、\(A\) に\(6÷2=3\) (秒)でつきます。
よって、\(x\) の変域は、\(0 \leqq x \leqq 3\) です。

また、点 \(P\) が辺 \(AB\) 上を動くとき、
三角形 \(BPQ\) は下図のようになります。

中学数学・高校受験chu-su- 2乗に比例 動点2-2

点\(P\) は秒速\(2cm\) で \(x\) 秒進むと、\(2xcm\) 進み
点\(Q\) は秒速\(1cm\) で \(x\) 秒進むと、\(xcm\) 進む。
よって、\(x\) 秒後の三角形 \(BPQ\) の面積を \(ycm^2\) は
\(y=x×2x×\displaystyle \frac{1}{2}=x^2\)
よって求める式は
\(y=x^2\)

② 点 \(P\) が辺 \(AD\) 上を動くとき

\(3\) 秒で \(A\) に着いた点\(P\) は秒速\(2cm\) で、\(D\) に向かいます。
\(A\) を通過後、\(6÷2=3\) (秒)で \(D\) につきます。
よって、\(x\) の変域は、\(3 \leqq x \leqq 6\) です。

また、点 \(P\) が辺 \(AD\) 上を動くとき、
三角形 \(BPQ\) は下図のようになります。

中学数学・高校受験chu-su- 2乗に比例 動点2 図3

底辺 \(xcm\) 、高さ \(6cm\) の三角形なので、その面積は
\(y=x×6×\displaystyle \frac{1}{2}=3x\)
よって求める式は
\(y=3x\)

③ \(y\) と \(x\) の関係を表すグラフ

①、②で求めたものをグラフにします。
\(y=x^2 (0 \leqq x \leqq 3)\)
\(y=3x (3 \leqq x \leqq 6)\)
をグラフにします。

<中学数学・高校受験chu-su- 2乗に比例 動点2 グラフ

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