中学数学の基本から難問まで、解き方を分かりやすく解説

【中学数学】 \(y=ax^2\)と変域

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変域のあるグラフ

例題1

次の関数について、 \(y\) の変域を求めなさい。

\(y=3x^2\)
\(-2 \leqq x \leqq1\)

解説

大雑把にグラフをかくことを強くお勧めします。
\(y=ax^2\) のグラフの概形(おおまかな形、特徴)は覚えていますね!?
下図のような原点を通る曲線(放物線)になります。
薄くかくのがコツです。
どの点を通るかなど、細かいことは一切無視してかきます。

中学数学・高校受験chu-su- 2次関数 変域 下書き11

変域の端である、\(x=-2\) から \(x=1\) までを図示しましょう。
先ほど薄くかいたものを、濃くなぞればOKです。

中学数学・高校受験chu-su- 2次関数 変域 下書き22

図をみれば明らかです。
\(y\) の変域は \(0 \leqq x \leqq12\)   です。

例題2

関数 \(y=ax^2\) で、\(x\) の変域が \(-4 \leqq x \leqq2\) のとき
\(y\) の変域が \(-8 \leqq x \leqq0\) である。\(a\) の値を求めなさい。

解説

必ずグラフの概形をかいて考えます。
数学は、目で見て解くのが最大のコツです。
無理に暗算(計算だけでなく、図もかかないこと)する必要はありません。

\(y\) の変域が \(-8 \leqq x \leqq0\) なので、
これは比例定数が負の場合とわかります。
グラフの概形は以下のようになります。

中学数学・高校受験chu-su- 2次関数 変域 下書き 5

\(x\) の変域が\(-4 \leqq x \leqq2\) なので、
変域の端である、\(x=-4\) から \(x=2\) までを図示しましょう。
\(y\) の変域が \(-8 \leqq x \leqq0\) なので、
\(x=-4\) のときに \(y=-8\) であることがわかります。
図からわかるのですよ!
図をかくことが大切なのですね。

中学数学・高校受験chu-su- 2次関数 変域 下書き 6

よって、\(x=-4\) とき、\(y=-8\) なので
\(x=-4\)、\(y=-8\) を \(y=ax^2\) に代入して
\(-8=a×(-4)^2\)
\(-8=16a\)
\(a=-\displaystyle \frac{1}{2}\)
より、求める放物線の式は
\(y=-\displaystyle \frac{1}{2}x^2\)
です。

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