【中学数学】乗法公式や因数分解による計算の工夫

例題1

次の式を、工夫して計算しなさい。
(1) $71^2-29^2$

(2) $497^2$

(3) $8.3×7.7$

解説

工夫して計算しろ、という指定がついていますが、
一体どのような工夫をすればＯＫで、どのような工夫ではダメなのか。
まったく数学的ではない、曖昧な問題です。
ですので、このような問題は高校入試では出題されません。
しかし、定期テストで出題されることはあるでしょう。

以下、出題者の意図した解答をお見せします。

解答

(1) $71^2-29^2$

$2$ 乗の差なので、和と差の積にできる！と頭に浮かんで欲しいのです。

$71^2-29^2$
$=(71+29)(71-29)$
$=100×42$
$=4200$

(2) $497^2$

平方の公式が利用できます。

$497^2$
$=(500-3)^2$
$=500^2-2×500×3+(-3)^2$
$=250000-3000+9$
$=247009$

(3) $8.3×7.7$

和と差の積が利用できます。

$8.3×7.7$
$=(8+0.3)(8-0.3)$
$=8^2-0.3^2$
$=64-0.09$
$=63.91$

例題2

次の式を、工夫して計算しなさい。
(1) $112^2-111×113$

(2) $345^2-344^2-333^2+332^2$

(3) $67×73+45×73+45×27$

解説

(1) $112^2-111×113$

$112$ と $111$ と $113$ が近い数字ですね。
このあたりが変形のポイントになりそうだと感づいてください。
あとは、わかるより先に手を動かしてみるのです。
いきなり正しい解答はわからないが、手を動かして調べる。
その後、わかったら解答をかく。
これは数学においてごく普通のことです。
絵を描く前の下書きのようなものです。

解答例

$112^2-111×113$
$112^2-(112-1)(112+1)$
$112^2-(112^2-1)$
$=1$

$112^2$ や $111×113$ がいくつになるのか、計算をする必要がなくなりましたね。
うまく消えてくれました。

(2) $345^2-344^2-333^2+332^2$

$2$ 乗の差は、和と差の積、が使えそうな匂いがプンプンしますね。

$345^2-344^2-333^2+332^2$
$=(345^2-344^2)-(333^2-332^2)$
$=(345+344)(345-344)-(333+332)(333-332)$
$=689×1-(665×1)$
$=689-665$
$=24$

(3) $67×73+45×73+45×27$

共通な数はくくりたくなりますよね。
いわゆる共通因数でくくる因数分解です。

73でくくると

$67×73+45×73+45×27$
$=(67+45)×73+45×27$
$=112×73+45×27$
ここから先は簡略化できません。

45でくくると

$67×73+45×73+45×27$
$=67×73+45×(73+27)$
$=67×73+45×100$
$=67×73+4500$
また、$67×73$ も和と差の積と見れば
$67×73+4500$
$=(70-3)(70+3)+4500$
$=70^2-3^2+4500$
$=4900-9+4500$
$=9391$

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