例題１
連続する \(3\) つの整数のうち、もっとも大きい数ともっとも小さい数との積に \(1\) をたした数は、中央の数の \(2\) 乗に等しいことを証明しなさい。
解説
\(n\) を整数とすると、連続する \(3\) つの整数は\(n,n+1,n+2\) と表せる。
もっとも大きい数ともっとも小さい数との積に１をたした数は、
\((n+2)×n+1\)
\(=n^2+2n+1\)・・・①
中央の数の \(2\) 乗は、
\((n+1)^2=n^2+2n+1\)・・・②
①、②より、連続する \(3\) つの整数のうち、もっとも大きい数ともっとも小さい数との積に \(1\) をたした数は、中央の数の \(2\) 乗に等しい。
例題２
連続する \(2\) つの整数の和の \(2\) 乗から、連続する \(2\) つの整数の積の \(4\) 倍をひくと \(1\) になることを証明しなさい。
解説
\(n\) を整数とすると、連続する \(2\) つの整数は\(n,n+1\) と表せる。
連続する \(2\) つの整数の和の \(2\) 乗は、
\(\{n+(n+1)\}^2\)
\(=(2n+1)^2\)
\(=4n^2+4n+1\)・・・①
連続する \(2\) つの整数の積の \(4\) 倍は、
\(n×(n+1)×4\)
\(=4n^2+4n\)・・・②
①から②をひくと、
\((4n^2+4n+1)-(4n^2+4n)=1\)
よって、連続する \(2\) つの整数の和の \(2\) 乗から、連続する \(2\) つの整数の積の \(4\) 倍をひくと \(1\) になる。
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