解の公式
あらゆる \(2\) 次方程式の解を機械的に求める魔法の式があります。
これが「 \(2\) 次方程式の解の公式」です。
これを使えば、因数分解ができるのかどうかを判定することなく、
さっと公式を適用するだけで、解を求めることができます。
解の公式
\(ax^2+bx+c=0\) の解は
\(x=\)\(\displaystyle \frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
使い方を具体例で見ていきましょう。
例１
\(x^2+3x-7=0\)
\(x^2\) の項の係数が \(a\)
\(x\) の項の係数が \(b\)
定数項が \(c\)
です。
\(a=1\)
\(b=3\)
\(c=-7\)
これを解の公式に代入します。
\(x=\displaystyle \frac{-(3)±\sqrt{(3)^2-4×(1)×(-7)}}{2×(1)}\)
\(x=\displaystyle \frac{-3±\sqrt{9-(-28)}}{2}\)
\(x=\displaystyle \frac{-3±\sqrt{37}}{2}\)
例２
\(2x^2-5x-3=0\)
\(a=2\)
\(b=-5\)
\(c=-3\)
これを解の公式に代入します。
\(x=\displaystyle \frac{-(-5)±\sqrt{(-5)^2-4×(2)×(-3)}}{2×(2)}\)
\(x=\displaystyle \frac{5±\sqrt{25-(-24)}}{4}\)
\(x=\displaystyle \frac{5±\sqrt{49}}{4}\)
\(x=\displaystyle \frac{5±7}{4}\)
\(x=\displaystyle \frac{5+7}{4},\displaystyle \frac{5-7}{4}\)
\(x=3,-\displaystyle \frac{1}{2}\)
例３
\(x^2-x-20=0\)
\(a=1\)
\(b=-1\)
\(c=-20\)
これを解の公式に代入します。
\(x=\displaystyle \frac{-(-1)±\sqrt{(-1)^2-4×(1)×(-20)}}{2×(1)}\)
\(x=\displaystyle \frac{1±\sqrt{1-(-80)}}{2}\)
\(x=\displaystyle \frac{1±\sqrt{81}}{2}\)
\(x=\displaystyle \frac{1±9}{2}\)
\(x=-4,5\)
普通に因数分解で解決できる \(2\) 次方程式も、
このように解の公式で解くこともできるわけです。
\(x^2-x-20=(x+4)(x-5)\)
もちろん因数分解可能なときは、
因数分解で解きたいですね。
時間短縮です。
解の公式の導出
導出は平方完成からです。
\(ax^2+bx+c=0\)
を平方完成することで得られます。
両辺を\(a\)で割ります。
\(x^2+\)\(\frac{b}{a}\)\(x+\)\(\frac{c}{a}\)\(=0\)
これを平方完成します。
\(x^2+\)\(\frac{b}{a}\)\(x\)\(=\)\(-\frac{c}{a}\)
\(x^2+\)\(\frac{b}{a}\)\(x+\)\(\frac{b^2}{4a^2}\)\(=\)\(-\frac{c}{a}\)\(+\)\(\frac{b^2}{4a^2}\)
\((x+\)\(\frac{b}{2a}\)\()^2\)\(=\)\(\frac{b^2-4ac}{4a^2}\)
\(x+\)\(\frac{b}{2a}\)\(=±\)\(\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
\(x=-\)\(\frac{b}{2a}\)\(±\)\(\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
\(x=\)\(\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
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