【中学数学】２次方程式の解の個数

２次方程式の解の個数

$2$ 次方程式を解くと、解は $2$ つでてきます。
しかし、解が $1$ 個しかないときもありましたね。

どんなときに解が $1$ つしかでてこないか、
覚えていますか？

解が１つの2次方程式の例

次の 方程式を解きなさい。
$x^2-6x+9=0$

解説

因数分解できますから、それが最速ですね。
$x^2-6x+9=0$
$(x-3)^2=0$
$x-3=0$
$x=3$

平方完成すると

ちなみに、この式を平方完成すると、
当然ですが、
$(x-3)^2=0$
になります。
$(xの１次式)^2=0$
となる $2$ 次方程式は、解が $1$ しかないのです。

解が１つの２次方程式をつくる

例題

解を $1$ つしか持たない $2$ 次方程式は無数にあるが、
その $1$ つを作りなさい。

解説

$(xの１次式)^2=0$
となる $2$ 次方程式ならば、解が $1$ つしかないのですから、
例えば
$(x-4)^2=0$
これは解を $1$ つしか持たない $2$ 次方程式です。
展開した形にすれば、
$x^2-8x+16=0$
となります。

これは、
$(x-4)(x-4)=0$
という $2$ 次方程式なので、
$x=4$ が $2$ 重になっています。
ダブっているという状態ですね。
ですのでこのような解を重解といいます。

例題１

$2$ 次方程式 $x^2+ax+36=0$ の解が $1$ つだけであるとき、$a$ の値を求めなさい。
ただし $a$ は $0$ 以上とする。

解説

解が $1$ つだけの $2$ 次方程式なので、
$(x\pm p)^2=0$
の形です。
これの左辺を展開すれば
$x^2 \pm2px+p^2=0$
なので
$p^2=36$
より、
$p =\pm6$
よって、求める$2$ 次方程式は
$(x+6)^2=0$
か
$(x-6)^2=0$
のどちらかです。
$a$ が $0$ 以上となるのは
$(x+6)^2=0$
で、
このときは
$x^2+12x+36=0$
なので、
$a=12$
です。

例題２

$2$ 次方程式 $x^2+8x+b=0$ の解が $1$ つだけであるとき、$b$ の値を求めなさい。

解説

解が $1$ つだけの $2$ 次方程式なので、
$(x\pm p)^2=0$
の形です。

$x^2+8x+b=0$ を平方完成すれば
$(x+4)^2=0$
となるので
※ $x$ の $1$ 次の係数から決まります。
$(x+4)^2=x^2+8x+16=0$
より、
$b=16$

参考・解の公式による解の個数の判別

改めて、下の $2$ 次方程式を解きましょう。
$x^2-6x+9=0$

このページの冒頭で出てきた $2$ 次方程式です。
解が $1$ つしかない具体例として登場しました。

これを、解の公式で解いみましょう。

$x=\displaystyle \frac{-(-6)\pm \sqrt{(-6)^2-4×1×9}}{2×1}$

分子のルートの中が $0$ になります。

そもそも $2$ 次方程式の解が $2$ つ出てくる要因は、このルートの $\pm$ （プラスマイナス）です。
プラスのときの解と、マイナスのときの解が $2$ つ。
ここが、$\pm 0$ となると、解が１つになってしまうわけですね。

ところで・・・
ルートの中が負の数になってしまうような $2$ 次方程式って
作れますか？

作れますね。
$b^2-4ac \lt 0$
となるような $a,b,c$ を選べばよいのですから、
例えば
$a=1$
$b=1$
$c=1$
で、
$x^2+x+1=0$
という $2$ 次方程式です。
これの解ってどうなっているのでしょう？？？

これは高校数学できちんと学習する内容となります。
現段階では「解なし」の $2$ 次方程式です。
中学生の間、このような $2$ 次方程式に触れる機会はありません。
テストでも入試でも出てきませんので、あまり深入りいしなくてＯＫです。

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