【中学数学】２次方程式　平方完成

平方完成

平方完成

$2$ 次方程式は、因数分解によって解くことができる。
非常に重要なことを学びましたが、これで万事解決ではありません。

次の $2$ 次方程式を解いてみましょう。

$x^2+6x-1=0$

これはいずれの方法でも因数分解ができません・・・

つまり、因数分解では解けないパターンもあるということです。

いよいよ最終兵器です。
「平方完成」という超重要技術です。
しっかり学習して身につけてください。

まずは「平方完成」の手順の具体例を見てもらいましょう。

平方完成の手順

まず、文字の項＝数の項　となるように移項します。
$x^2+6x=1$

次に両辺に $9$ を足します。
$x^2+6x$$+9$$=1$$+9$
なんで？どうして $9$ を足すの？
という疑問はもっともですが、今は最後までおつきあい下さい。

すると左辺が、平方の公式で因数分解ができます。
$(x+3)^2=10$

両辺の平方根を取ると
$x+3=±\sqrt{10}$
よって
$x=-3±\sqrt{10}$
これで、解が求まりました。
$x=-3+\sqrt{10},-3-\sqrt{10}$ という意味ですよ。念のため。

こんな解法、思いつかない・・・

なんだか、手品のように $2$ 次方程式が解けてしまいましたね。
非常に巧みな計算技術ですが・・・
こんな計算方法思いつかないよ・・・何これ・・・
ポカーンと口を開けてしまう・・・
こんな感想でＯＫです。
どうしてこれが思いつくのかという視点は今はいりません。
先人が作り出した素晴らしい技術を受け継ぐ、という姿勢でＯＫです。
つまるところ、手順を正しく覚えて、運用できるようになりましょう。
簡単に言えば覚えちゃえばいいってことですよ。

平方完成のポイント

さきほど、両辺に $9$ を足しましたが、なぜこんなことをしたのか。
結論をいってしまえば、

平方の公式で因数分解ができるように調整した

ということです。

いくつか具体例を見て学習していきましょう。

平方完成の具体例１

$x^2-4x-8=0$
$x^2-4x=8$・・・定数項は右辺に移項
次が最大のポイント！$-4x$ の $-4$ に注目。
その半分の $-2$ を $2$ 乗して $4$ 、これを両辺に足します。
$x^2-4x$$+4$$=8$$+4$・・・左辺が平方になるように調整
$(x-2)^2=12$・・・左辺を因数分解
よって
$x-2=±\sqrt{12}$
$x=2±\sqrt{12}$
$x=2±2\sqrt{3}$

この「平方完成」という計算技術を用いれば、あらゆる $2$ 次方程式を解くことができます。
万能の方法です。
※厳密には、中学生の範囲で出題される $2$ 次方程式だけです。

平方完成の具体例２

$x^2-14x-72=0$
$x^2-14x=72$
次が最大のポイント！$-14x$ の $-14$ に注目。
その半分の $-7$ を $2$ 乗して $49$ 、これを両辺に足します。
$x^2-14x$$+49$$=72$$+49$
$(x-7)^2=121$
よって
$x-7=±\sqrt{121}$
$x-7=±11$
$x=7±11$
$x=7+11$ と $x=7-11$ ということなので
$x=18,-4$

これって、はじめから普通に因数分解できたってことですね。
$x^2-14x-72=0$
積が $-72$
和が $-14$
になる $2$ つの数を探すと、 $4,-18$
よって、
$x^2-14x-72=(x+4)(x-18)=0$
よって、$x=-4,18$

平方完成の具体例３

$x$ の項の係数が奇数であるときも見ておきましょう。
$x^2-3x+1=0$
$x^2-3x=-1$

$x^2-3x$$+(\displaystyle \frac{3}{2})^2$$=-1$$+(\displaystyle \frac{3}{2})^2$

$(x-\displaystyle \frac{3}{2})^2=-1+\displaystyle \frac{9}{4}$

$(x-\displaystyle \frac{3}{2})^2=\displaystyle \frac{5}{4}$

$x-\displaystyle \frac{3}{2}=±\sqrt{\displaystyle \frac{5}{4}}$

$x-\displaystyle \frac{3}{2}=±\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}$

$x=\displaystyle \frac{3}{2}±\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}$

$x=\displaystyle \frac{3±\sqrt{5}}{2}$

平方完成の具体例４

$x^2$ の項の係数が $1$ でないときも見ておきましょう。
$3x^2-x-4=0$
$x^2$ の項の係数が $1$ ではないときは、両辺を割り算して、$1$ にします。
両辺を $3$ で割って、
$x^2-\displaystyle \frac{1}{3}x-\displaystyle \frac{4}{3}=0$

$x^2-\displaystyle \frac{1}{3}x=\displaystyle \frac{4}{3}$

$x^2-\displaystyle \frac{1}{3}x$$+\displaystyle \frac{1}{36}$$=\displaystyle \frac{4}{3}$$+\displaystyle \frac{1}{36}$

$(x-\displaystyle \frac{1}{6})^2=\displaystyle \frac{49}{36}$

$x-\displaystyle \frac{1}{6}=±\sqrt{\displaystyle \frac{49}{36}}$

$x-\displaystyle \frac{1}{6}=±\displaystyle \frac{7}{6}$

$x=\displaystyle \frac{1}{6}±\displaystyle \frac{7}{6}$

$x=\displaystyle \frac{1}{6}+\displaystyle \frac{7}{6},\displaystyle \frac{1}{6}-\displaystyle \frac{7}{6}$

$x=-1,\displaystyle \frac{4}{3}$

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