数直線・平方根の大小関係
根号のついた数の大小関係は、以前にも学習したとおりです。
\(a \lt b\) のとき、
\(\sqrt{a} \lt \sqrt{b}\)
\(-\sqrt{b} \lt -\sqrt{a}\)
このように、平方根の中の数値の大小を比べることで、
根号のついた数の大小がわかります。
\(2\sqrt{3}=\sqrt{3×2^2}=\sqrt{12}\)
のように、平方根の簡略化と逆の操作をすることになります。
例題１
次の数の大小を不等号を使って表しなさい。
(1)\(3\sqrt{2},2\sqrt{5}\)
(2)\(-4\sqrt{3},-5\sqrt{2}\)
(3)\(\sqrt{26},5,2\sqrt{6}\)
(4)\(\sqrt{\displaystyle \frac{2}{3}},\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}},\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}\)
解説
普通は、平方根の簡略として、
√の中の数を小さくするような操作をします。
しかし、その逆の操作をすることが便利なときもあります。
\(\sqrt{a} \lt \sqrt{b}\)
のように大小を比べたいときです。
\(c\sqrt{d}=\sqrt{d×c^2}\)
これを利用します。
(1)\(3\sqrt{2},2\sqrt{5}\)
\(3\sqrt{2}=\sqrt{2×3^2}=\sqrt{18}\)
\(2\sqrt{5}=\sqrt{5×2^2}=\sqrt{20}\)
つまり、
\(\sqrt{18} \lt \sqrt{20}\) なので
\(3\sqrt{2} \lt 2\sqrt{5}\)
(2)\(-4\sqrt{3},-5\sqrt{2}\)
\(-4\sqrt{3}=-\sqrt{3×4^2}=-\sqrt{48}\)
\(-5\sqrt{2}=-\sqrt{2×5^2}=-\sqrt{50}\)
つまり、
\(-\sqrt{50} \lt -\sqrt{48}\) なので
\(-5\sqrt{2} \lt -4\sqrt{3}\)
(3)\(\sqrt{26},5,2\sqrt{6}\)
\(5=\sqrt{5^2}=\sqrt{25}\)
\(2\sqrt{6}=\sqrt{6×2^2}=\sqrt{24}\)
つまり、
\(\sqrt{24} \lt \sqrt{25} \lt \sqrt{26}\) なので
\(2\sqrt{6} \lt 5 \lt \sqrt{26}\)
(4)\(\sqrt{\displaystyle \frac{2}{3}},\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}},\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}\)
分母を有理化して、分子での大小比較をしましょう。
\(\sqrt{\displaystyle \frac{2}{3}}\)
\(=\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)
\(=\displaystyle \frac{\sqrt{2×3}}{\sqrt{3×3}}\)
\(=\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}\)
\(\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}\)
\(=\displaystyle \frac{2×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}\)
\(=\displaystyle \frac{\sqrt{3×2^2}}{3}\)
\(=\displaystyle \frac{\sqrt{12}}{3}\)
\(3\) つの数の分子の大小関係、\(2 \lt 6 \lt 12\) より、
\(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3} \lt \displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3} \lt \displaystyle \frac{\sqrt{12}}{3}\) なので
\(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3} \lt \sqrt{\displaystyle \frac{2}{3}} \lt \displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}\)
例題２
次の条件にあてはまる整数を求めなさい。
\(\sqrt{30}\) より大きく、\(\sqrt{90}\) より小さい整数をすべて求めなさい。
解説
整数 \(A\) は \(A=\sqrt{A^2}\) と表されることを用います。
つまり、\(30\) より大きく \(90\) より小さい平方数を探します。
この条件にあう平方数は、\(36,49,64,81\) があります。
つまり、
\(\sqrt{30} \lt \sqrt{36}=6 \lt \sqrt{90}\)
\(\sqrt{30} \lt \sqrt{49}=7 \lt \sqrt{90}\)
\(\sqrt{30} \lt \sqrt{64}=8 \lt \sqrt{90}\)
\(\sqrt{30} \lt \sqrt{81}=9 \lt \sqrt{90}\)
よって
求める整数は、\(6,7,8,9\) となります。
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