【中学数学】 $y=ax^2$ 放物線と直線の交点

放物線と直線の交点

放物線と直線の交点は、連立方程式で求まります。

直線と直線の交点を求めるのと同じことです。

例題１

放物線 $y=x^2$ と直線 $y=x+2$ の交点の座標を求めなさい。

解説

放物線 $y=x^2$ と直線 $y=x+2$ の交点を点 $P$ とします。
点 $P$ の $x$ 座標を $p$ とすると、
点 $P$ は放物線 $y=x^2$ 上の点なので、$P(p,p^2)$ と表せます。
また、点 $P$ は直線 $y=x+2$ 上の点なので、$P(p,p+2)$ と表せます。

どちらも同じ点 $P$ の座標なので、 $y$ 座標は等しいわけです。
つまり、$p^2=p+2$ です。

この $2$ 次方程式を解けば、交点 $P$ の $x$ 座標 $p$ が求まります。

$p^2=p+2$
$p^2-p-2=0$
$(p+1)(p-2)=0$
より、
$p=-1,2$

あれ、 $2$ つ求まりましたね。
そうです、交点は $2$ つなのです。
求まった $x$ 座標 $-1,2$ をそれぞれ直線 $y=x+2$ に代入して
座標を求めます。

$(-1,1)$ と $(2,4)$ です。

もちろん $x$ 座標 $-1,2$ を放物線 $y=x^2$ に代入して
座標を求めてもＯＫです。

下図のようになっています。

交点の求め方・まとめ

交点の座標は $2$ 次方程式を解くことで得られました。
あの式って結局、放物線 $y=x^2$ と直線 $y=x+2$ の式を連立したものです。
つまり、
$y=x^2$
$y=x+2$
を連立して解くと、交点の座標が求まるということです。

$y$ を消せば、 $x^2=x+2$ という $2$ 次方程式になります。
さきほど解いた $2$ 次方程式と同一のものですね。

交点 とは、上の $2$ つの式を満たす $x$ と $y$ を座標に持つのですから、
連立すれば求まるのは当たり前ですね！

例題２

放物線 $y= \displaystyle \frac{1}{2} x^2$ と直線 $y=x+4$ の交点の座標を求めなさい。

解説

交点を求めるには、式を連立します。

$y= \displaystyle \frac{1}{2} x^2$ と $y=x+4$ から $y$ を消すと

$\displaystyle \frac{1}{2} x^2=x+4$

両辺を $2$ 倍すると

$x^2=2x+8$
$x^2-2x-8=0$
$(x+2)(x-4)=0$
よって
$x=-2,4$
これを $y=x+4$ に代入して、
$(-2,2),(4,8)$ と交点が求まりました。

※放物線と直線は、交わらないこともあります。
$1$ 点でのみ交わることもあります。このとき、放物線と直線は接するといい、
接している点を接点といいます。交点とはいいません。

スポンサーリンク

• 前のページ 図形との融合

２乗に比例のトップページ