【中学数学】三平方の定理　導入

三平方の定理

三平方の定理

直角三角形の $3$ 辺の長さには、以下のようの関係式が常に成り立ちます。

$a^2 + b^2 = c^2$

※直角三角形の $3$ 辺で、最も長い辺は直角の向かいの辺で、この辺を斜辺といいます。
上の三角形の斜辺は、長さが $Ccm$ の辺です。

なんでこの関係は成り立つの？
という好奇心はちょっと保留して、まずは計算練習をしておきましょう。

例題1

下図の $x$ を求めなさい。

解答

最も長い辺（斜辺）は直角の向かい側であり、この問題では $X$$cm$ の辺が斜辺です。
よって、
$x^2=3^2 + 6^2$
$x^2=9+36$
$x^2=45$
$x>0$ であるから
$x=\sqrt{45}$
$x=3\sqrt{5}$

例題２

下図の $x$ を求めなさい。

解答

$x^2 + 5^2 = 7^2$
$x^2 + 25= 49$
$x^2 =24$
$x>0$ であるから
$x=\sqrt{24}$
$x=2\sqrt{6}$

三平方の定理の逆

$3$ 辺の長さが、$a,b,c$ である三角形において、
$a^2 + b^2 = c^2$ を満たすとき、その三角形は直角三角形であり、長さ $c$ の辺が斜辺である。

例題3

次の長さを $3$ 辺とする三角形は、直角三角形であるか、そうでないか判定せよ。

ア　$1cm$, $3cm$, $\sqrt{10}cm$

イ $5cm$, $6cm$, $5\sqrt{3}cm$

解答

ア
$1^2 + 3^2 = \sqrt{10}^2$
が成り立つので、直角三角形である。

イ
$5\sqrt{3}$ が最も大きい。
$5^2 + 6^2 =5\sqrt{3}^2$
は成り立たないので、直角三角形ではない。