\(y=ax^2\) 2乗に比例
\(y\) が \(x\) の関数であり、 \(x\) と \(y\) の間に
\(y=ax^2\)
という関係式が成り立つとき、\(y\) は \(x\) の \(2\) 乗に比例するという。
ただし、\(a\) は \(0\) でない定数で、比例定数といいます。
「\(y\) は \(x\) の \(2\) 乗に比例する」と問題文にあれば、すぐさま、\(y=ax^2\) とかくようにしましょう。
暗記ですよ、これは。
\(a\) はさまざまな値をとるので、これから学習するのは例えば、
\(y=x^2\)
\(y=3x^2\)
\(y=-x^2\)
などの関数です。
2次関数とは
\(y=ax^2\) は、\(2\) 次関数ともいわれます。
\(2\) 次関数とは、
\(y=x^2\)
\(y=-3x^2+1\)
\(y=x^2+x\)
\(y=\displaystyle \frac{1}{3}x^2-2x+3\)
のような，\(y=x の2次式\) となるものです。
中学 \(3\) 年では、この中で \(y=ax^2\) の形のものだけを学習します。
\(2\) 次関数すべてを学習するのは、高校生になってからです。
注意
\(y=\displaystyle \frac{a}{x^2}\)
は \(2\) 次関数ではありません。
\(x^2\) が分母にあるとき、\(x\)の\(-2\)乗なのです。
くわしくは高校で学習します。
\(y=ax^2\) （2乗に比例）の特徴
\(y=ax^2\) について、\(x\) の値を \(n\) 倍すると、\(y\) の値は \(n^2\) 倍になる。
例
\(y=2x^2\)
\(y=ax^2\) （2乗に比例）の具体例
\(1\) 辺が \(xcm\)の立方体の表面積を \(ycm^2\)する。
このとき、\(y\) と \(x\) の間には
\(y=6x^2\)
という関係式が成立します。
例題 1
次の場合について、\(y\) を \(x\) の式で表し、 \(y\) が\(x\) の \(2\) 乗に比例するものには〇、そうでないものには×をかきなさい。
（１）半径が \(xcm\) の円の面積 \(ycm^2\)
（２）底辺が \(xcm\) 、高さが \(2xcm\) の三角形の面積 \(ycm^2\)
（３）たて\(xcm\) 、面積が \(20cm^2\) の長方形のよこの長さ \(ycm\)
解説
\(y\) が\(x\) の \(2\) 乗に比例するとは、\(y\) を \(x\) の式に表した時に
\(y=ax^2\) の式になることです。
これは覚えてしまいましょう。
（１）半径が \(xcm\) の円の面積 \(ycm^2\)
（１）円の面積＝円周率×半径の \(2\) 乗なので、
\(y= \pi x^2\)
これは \(y\) が \(x\) の \(2\) 乗に比例するので、〇です。
（２）底辺が \(xcm\) 、高さが \(2xcm\) の三角形の面積 \(ycm^2\)
（２）三角形の面積＝底辺×高さ×\(\displaystyle \frac{1}{2}\) なので、
\(y= x×2x × \displaystyle \frac{1}{2}\)
これは \(y\) が \(x\) の \(2\) 乗に比例するので、〇です。
（３）たて\(xcm\) 、面積が \(20cm^2\) の長方形のよこの長さ \(ycm\)
（３）長方形の面積＝たて×よこ なので、
\(20= xy\)
これは \(y\) が \(x\) の \(2\) 乗に比例しないので、×です。
例題２
\(y\) が \(x\) の \(2\) 乗に比例し、\(x=6\) のとき、\(y=18\) である。このとき次の問いに答えなさい。
（１）\(y\) を \(x\) の式で表しなさい。
（２）\(x=-3\) のときの \(y\) の値を求めなさい。
（３）\(y=32\) のときの \(x\) の値を求めなさい。
解説
\(y\) が \(x\) の \(2\) 乗に比例 とあるので、即座に \(y=ax^2\) とします。
（１）\(y\) を \(x\) の式で表しなさい
（１）\(x=6\) のとき \(y=18\) なので、これを \(y=ax^2\) に代入して、\(a\) を求めます。
\(18=a×6^2\)
よって
\(a= \displaystyle \frac{1}{2}\)
です。
つまり、求める式は \(y=\displaystyle \frac{1}{2}x^2\)
（２）\(x=-3\) のときの \(y\) の値を求めなさい
(1)で求めた式に、\(x=-3\) を代入して、このときの\(y\) を求めます。
\(y=\displaystyle \frac{1}{2}×(-3)^2\)
よって
\(y=\displaystyle \frac{9}{2}\)
です。
（３）\(y=32\) のときの \(x\) の値を求めなさい
(1)で求めた式に、\(y=32\) を代入して、このときの\(x\) を求めます。
\(32=\displaystyle \frac{1}{2}x^2\)
よって
\(x^2=64\)
\(x= ±8\)
です。
\(x\) は \(2\) つの値がでてきましたね。
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