中学数学の基本から難問まで、解き方を分かりやすく解説

【中学数学】立体の切断面

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例題1

半径 \(10cm\) の球を切り口が円になるように切断しました。
切断面の円の中心 \(A\) と球の中心 \(O\) の距離が \(7cm\) のとき、
切断面の面積を求めなさい。

中学数学・高校受験chu-su- 球の切断面 三平方の定理 図1

解答

当然ですが、切断面の円の半径が知りたいわけです。
ですからそれを図に入れます。
切断面の円の半径を \(rcm\) とします。
球の半径は \(10cm\) なので、
下の図のクリーム色の直角三角形に三平方の定理を用いれば
切断面の円の半径 \(r\) が求まります。

中学数学・高校受験chu-su- 球の切断面 三平方の定理 図2

\(r^2+7^2=10^2\)
\(r^2=100-49\)
\(r^2=51\)
このまま進めて \(r\) を求めてもよいのですが、
この問題で聞かれているのは切断面の面積です。
切断面の面積は
\(r^2×\pi\)
\(=51\pi\)

例題2

下の図のように、直方体を \(3\) 点 \(A,B,C\) を通る平面で切断しました。
切断面の面積を求めなさい。

中学数学・高校受験chu-su- 直方体の切断面 三平方の定理 図1

解答

下図、オレンジ色の直角三角形に三平方の定理を用いれば
\(BC=10cm\) が得られます。
もちろん、\(3\) 辺の辺の比が \(3:4:5\) の有名直角三角形なので、
それから求めても構いません。
緑色の直角三角形に三平方の定理を用いれば
\(AC=8\sqrt{2}cm\) が得られます。
もちろん、\(3\) 辺の辺の比が \(1:1:\sqrt{2}\) の直角二等辺三角形なので、
それから求めても構いません。

中学数学・高校受験chu-su- 直方体の切断面 三平方の定理 図2

さて、切断面である、三角形 \(BCA\) に注目します。
これは \(BA=BC\) の二等辺三角形です。
図形の対称性から明らかでしょう。
※もちろん \(BA=10cm\) を改めて三平方の定理で求めても構いませんが。

頂点 \(B\) から辺 \(AC\) に垂線を引き、交点を \(H\) とします。

中学数学・高校受験chu-su- 直方体の切断面 三平方の定理 図3

直角三角形 \(ABH\) に三平方の定理を用います。
\(BH^2+(4\sqrt{2})^2=10^2\)
\(BH^2+32=100\)
\(BH^2=68\)
\(BH \gt 0\) なので
\(BH=\sqrt{68}\)
\(BH=2\sqrt{17}\)

よって、切断面である二等辺三角形 \(BCA\) の面積は、
\(8\sqrt{2}×2\sqrt{17}×\displaystyle \frac{1}{2}\)
\(=8\sqrt{34}\)

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