【中学数学】立体の切断面

例題１

半径 $10cm$ の球を切り口が円になるように切断しました。
切断面の円の中心 $A$ と球の中心 $O$ の距離が $7cm$ のとき、
切断面の面積を求めなさい。

解答

当然ですが、切断面の円の半径が知りたいわけです。
ですからそれを図に入れます。
切断面の円の半径を $rcm$ とします。
球の半径は $10cm$ なので、
下の図のクリーム色の直角三角形に三平方の定理を用いれば
切断面の円の半径 $r$ が求まります。

$r^2+7^2=10^2$
$r^2=100-49$
$r^2=51$
このまま進めて $r$ を求めてもよいのですが、
この問題で聞かれているのは切断面の面積です。
切断面の面積は
$r^2×\pi$
$=51\pi$

例題２

下の図のように、直方体を $3$ 点 $A,B,C$ を通る平面で切断しました。
切断面の面積を求めなさい。

解答

下図、オレンジ色の直角三角形に三平方の定理を用いれば
$BC=10cm$ が得られます。
もちろん、$3$ 辺の辺の比が $3:4:5$ の有名直角三角形なので、
それから求めても構いません。
緑色の直角三角形に三平方の定理を用いれば
$AC=8\sqrt{2}cm$ が得られます。
もちろん、$3$ 辺の辺の比が $1:1:\sqrt{2}$ の直角二等辺三角形なので、
それから求めても構いません。

さて、切断面である、三角形 $BCA$ に注目します。
これは $BA=BC$ の二等辺三角形です。
図形の対称性から明らかでしょう。
※もちろん $BA=10cm$ を改めて三平方の定理で求めても構いませんが。

頂点 $B$ から辺 $AC$ に垂線を引き、交点を $H$ とします。

直角三角形 $ABH$ に三平方の定理を用います。
$BH^2+(4\sqrt{2})^2=10^2$
$BH^2+32=100$
$BH^2=68$
$BH \gt 0$ なので
$BH=\sqrt{68}$
$BH=2\sqrt{17}$

よって、切断面である二等辺三角形 $BCA$ の面積は、
$8\sqrt{2}×2\sqrt{17}×\displaystyle \frac{1}{2}$
$=8\sqrt{34}$