例題1
次の式の値を求めなさい。
(1) \(x=81\) のとき、\(x^2-2x+1\) の式の値
(2) \(x=\displaystyle \frac{3}{7}\) のとき、\((x-3)^2-(x+3)(x+5)\) の式の値
(3) \(x=4.45\), \(y=3.55\) のとき、\(x^2-y^2\) の式の値
解説
与えられた式に、すぐに代入するのではなく、式を変形してから
代入する方が楽になることがあります。
(1) \(x=81\) のとき、\(x^2-2x+1\) の式の値
\(x^2-2x+1\)
\(=(x-1)^2\)
これに \(x=81\) を代入すると
\((81-1)^2=80^2=6400\)
(2) \(x=\displaystyle \frac{3}{7}\) のとき、\((x-3)^2-(x+3)(x+5)\) の式の値
\((x-3)^2-(x+3)(x+5)\)
\(=(x^2-6x+9)-(x^2+8x+15)\)
\(=-14x-6\)
これに \(x=\displaystyle \frac{3}{7}\) を代入すると
\(-14×\displaystyle \frac{3}{7}-6\)
\(=-6-6\)
\(=-12\)
(3) \(x=4.45\), \(y=3.55\) のとき、\(x^2-y^2\) の式の値
\(x^2-y^2\)
\(=(x+y)(x-y)\)
これに \(x=4.45\), \(y=3.55\) を代入すると
\((4.45+3.55)(4.45-3.55)\)
\(=8×0.9\)
\(=7.2\)
例題2
次の式の値を求めなさい。
\(x+y=10, xy=16\) のとき、\(x^2+y^2\) の式の値
解説
\(x^2+y^2\) は、因数分解できません。
どのように式変形をしたらよいのか。
\((x+y)^2=x^2+2xy+y^2\) を利用します。
これは思いつくものというよりも、知識です。
この式を変形すれば、
\((x+y)^2=(x^2+y^2)+2xy\)
これに問題で与えられた値、 \(x+y=10, xy=16\) を代入すると、
\(10^2=(x^2+y^2)+2×16\)
\(100=(x^2+y^2)+32\)
よって、
\((x^2+y^2)=100-32=68\)
例題3
\(a=\sqrt{5}+2, b=\sqrt{5}-2\) のとき、次の式の値を求めなさい。
(1) \(a-b\) の式の値
(2) \(ab\) の式の値
(3) \(a^2-b^2\) の式の値
(4) \(a^2+b^2\) の式の値
解説
(1) \(a-b\) の式の値
式変形など必要ありません。直接、 \(a=\sqrt{5}+2, b=\sqrt{5}-2\) を代入しましょう。
\(\sqrt{5}+2-(\sqrt{5}-2)\)
\(=4\)
(2) \(ab\) の式の値
式変形など必要ありません。直接、 \(a=\sqrt{5}+2, b=\sqrt{5}-2\) を代入しましょう。
\((\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)\)
\(=(\sqrt{5})^2-2^2\)
\(=5-4\)
\(=1\)
(3) \(a^2-b^2\) の式の値
因数分解ができますね。
\(a^2-b^2\)
\(=(a+b)(a-b)\)
これに \(a=\sqrt{5}+2, b=\sqrt{5}-2\) を代入すると、
\(\{(\sqrt{5}+2)+(\sqrt{5}-2)\}\{(\sqrt{5}+2)-(\sqrt{5}-2)\}\)
\(=2\sqrt{5}×4\)
\(=8\sqrt{5}\)
(4) \(a^2+b^2\) の式の値
例題２と同様の式変形の利用ですね！
覚えていましたか？
＋（プラス）とー（マイナス）が違うので、そこだけ注意してください。
\((a-b)^2=(a^2+b^2)-2ab\)
これに（１）（２）で得た値、 \(a-b=4, ab=1\) を代入すると、
\(4^2=(a^2+b^2)-2×1\)
\(16=(a^2+b^2)-2\)
よって、
\((a^2+b^2)=16+2=18\)
スポンサーリンク
