【中学数学】$\sqrt{ }$ が整数となるような $n$

例題１

次の数が自然数となるような $n$ をすべてもとめなさい。
$\sqrt{30-7n}$

解説

順に調べていくのみです。
$\sqrt{A^2}=A$ なので、ルートの中が平方数になるかどうかを調べるのみです。

$n=1$ のとき

$\sqrt{30-7×1}=\sqrt{23}$
これは適さない。

$n=2$ のとき

$\sqrt{30-7×2}=\sqrt{16}=4$
これは適する。

$n=3$ のとき

$\sqrt{30-7×3}=\sqrt{9}=3$
これは適する。

$n=4$ のとき

$\sqrt{30-7×4}=\sqrt{2}$
これは適さない。

$n \geqq 5$ のときはルートの中が負になるため不適。

よって、求める答えは、$n=2,3$

例題2

次の数が自然数となるような $n$ のうちで、もっとも小さい数をもとめなさい。
$\sqrt{12n}$

解説

もちろん $\sqrt{A^2}=A$ となることを利用します。

つまり、 $12n$ が平方数になるような $n$ のうち、もっとも小さい数が答えとなります。

平方根の中を簡略化する方法は習得しましたね？
これを用いて、簡略化しましょう。
$\sqrt{12n}$
$=\sqrt{4×3n}$
$=\sqrt{4}×\sqrt{3n}$
$=2\sqrt{3n}$

これが自然数となるためには、当然ですが、$\sqrt{3n}$ が自然数になればよいです。
$\sqrt{A^2}=A$ 　なのですから、
$\sqrt{3n}$ が自然数になるのは、$n=3$ のときです。

さらなる考察で理解を深める！

ちなみに、$\sqrt{3n}$ が自然数になるような $n$ は無限にあります。
もっとも小さい数は上で見た通りの $n=3$ ですが、
他はどうなっているのか見ておきましょう。

$\sqrt{3n}$ が自然数になるのは、
$\sqrt{3n}=\sqrt{3×3×m^2}$ となるときで、
$\sqrt{3n}=\sqrt{3×3×m^2}=3m$ となります。

つまり、$n=3×m^2$ となるときに、 $\sqrt{12n}=2\sqrt{3n}$ は自然数になります。

よって、
$n=3×1^2=3$
$n=3×2^2=12$
$n=3×3^2=27$
$n=3×4^2=48$
のように、無限に続いていきます。

例題３

次の数が自然数となるような $n$ をすべてもとめなさい。
$\sqrt{\displaystyle \frac{180}{n}}$

解説

例題２と同様ですが、簡略化できるときに簡略化するのはあたりまえですよね。

$\sqrt{\displaystyle \frac{180}{n}}$

$=\displaystyle \frac{\sqrt{180}}{\sqrt{n}}$

$=\displaystyle \frac{\sqrt{36×5}}{\sqrt{n}}$

$=\displaystyle \frac{\sqrt{36}×\sqrt{5}}{\sqrt{n}}$

$=\displaystyle \frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{n}}$

さて、これが自然数となるためには、
分子の $\sqrt{5}$ が約分で消えればよいことがわかります。

よって、$n=5$ のときが答えであることがわかります。

これで解決！とはいかないことは感づいていますか？
問題文に、「すべてもとめなさい。」とあります。
これは、答えが複数あることを予感させますね。

あらためて、簡略化した式の最後とにらめっこをします。

$\displaystyle \frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{n}}=自然数$

これが自然数となるのは、
$\displaystyle \frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=6$

$\displaystyle \frac{6\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=3$

$\displaystyle \frac{6\sqrt{5}}{3\sqrt{5}}=2$

$\displaystyle \frac{6\sqrt{5}}{6\sqrt{5}}=1$

の4通りです。

つまり、

$\displaystyle \frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=6$ のとき

$6=\displaystyle \frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$
このとき $n=5$

$\displaystyle \frac{6\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=3$ のとき

$3=\displaystyle \frac{6\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\displaystyle \frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{20}}$
このとき $n=20$

$\displaystyle \frac{6\sqrt{5}}{3\sqrt{5}}=2$ のとき

$2=\displaystyle \frac{6\sqrt{5}}{3\sqrt{5}}=\displaystyle \frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{45}}$
このとき $n=45$

$\displaystyle \frac{6\sqrt{5}}{6\sqrt{5}}=1$ のとき

$1=\displaystyle \frac{6\sqrt{5}}{6\sqrt{5}}=\displaystyle \frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{180}}$
このとき $n=180$

より、求める答えは、$n=5,20,45,180$ です。

別解

最後のところ、$n=5$ 以外の答えがあることに気づきにくいでしょうか。
上と本質的にはまったく同一の解法ですが、見た目が違うものを紹介します。

$\sqrt{A^2}=A$ なので、
$\sqrt{\displaystyle \frac{180}{n}}=\sqrt{A^2}$
となればよいですね。

つまり $\displaystyle \frac{180}{n}=A^2$ です。

180を素因数分解してかきなおすと、
$\displaystyle \frac{180}{n}=\displaystyle \frac{2^2×3^2×5}{n}$

つまり、分子の $2^2×3^2×5$ が、約分によって平方数になればよいことがわかります。

以下の４パターンあることになります。

$5$ で約分

$5$ で約分。分子に$2^2×3^2$ が残る。
つまり、 $n=5$

$5×2^2$ で約分

$5×2^2$ で約分。分子に$3^2$ が残る。
つまり、 $n=5×2^2=20$

$5×3^2$ で約分

$5×3^2$ で約分。分子に$2^2$ が残る。
つまり、 $n=5×3^2=45$

$5×2^2×3^2$

$5×2^2×3^2$ で約分。分子に$1$ が残る。
つまり、 $n=5×2^2×3^2=180$

はじめの解法と、どちらが気づきやすいでしょうか？
どちらでもかまいません。
自分がやりやすいほうで解きましょう。

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