中学数学の基本から難問まで、解き方を分かりやすく解説

【中学数学】式による説明・nの倍数・nで割ったときの余り

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例題1

連続する \(2\) つの奇数の積に \(1\) を足した数は、\(4\) の倍数になることを説明しなさい。

解答

\(n\) を整数とすると、連続する \(2\) つの奇数は\(2n+1,2n+3\) と表せる。
連続する \(2\) つの奇数の積に \(1\) を足した数は、
\((2n+1)(2n+3)+1\)
\(=4n^2+8n+3+1\)
\(=4n^2+8n+4\)
\(=4(n^2+2n+1)\)

\(n^2+2n+1\) は整数なので、\(4(n^2+2n+1)\) は \(4\) の倍数である。
よって、連続する \(2\) つの奇数の積に \(1\) を足した数は、\(4\) の倍数になる。

例題2

奇数の \(2\) 乗は、\(4\) で割ると \(1\) 余ることを説明しなさい。

解答

\(n\) を整数とすると、奇数は\(2n+1\) と表せる。
奇数の \(2\) 乗は、
\((2n+1)^2\)
\(=4n^2+4n+1\)
\(=4(n^2+n)+1\)

\(n^2+n\) は整数なので、\(4(n^2+n)+1\) は \(4\) で割ると \(1\) 余る。
よって、奇数の \(2\) 乗は、\(4\) で割ると \(1\) 余る。

例題3

\(5\) で割ると \(2\) 余る数と、\(5\) で割ると \(4\) 余る数との積を \(5\) でわったときの余りは \(3\) になることをを説明しなさい。

解答

\(n\) 、\(m\) を整数とすると、
\(5\) で割ると \(2\) 余る数は \(5n+2\)
\(5\) で割ると \(4\) 余る数は \(5m+4\)
と表せる。

\(5\) で割ると \(2\) 余る数と、\(5\) で割ると \(4\) 余る数との積は、
\((5n+2)(5m+4)\)
\(=25nm+20n+10m+8\)
\(=25nm+20n+10m+5+3\)
\(=5(5nm+4n+2m+1)+3\)

\(5nm+4n+2m+1\) は整数なので、\(5(5nm+4n+2m+1)\) は \(5\) の倍数である。
つまり、
\(5\) で割ると \(2\) 余る数と、\(5\) で割ると \(4\) 余る数との積を \(5\) でわったときの余りは \(3\) になる。

例題4

整数を \(2\) 乗した数(平方数)を \(3\) で割ると、余りが \(2\) になることはないことを説明しなさい。

解説

何も知らないでこの問題が解けるとしたら、かなり優秀だと思います。
どうやって手を出したらいいか、まったくわからないとき・・・
解答を読んで、「考え方の型」を学んでいけば良いのです。

解答

整数を \(3\) で割ったときのあまりは \(0\) か \(1\) か \(2\) なので、
\(n\) を整数とすると、あらゆる整数は
\(3n\),\(3n+1\),\(3n+2\) のいずれかになる。

\(3n\) を \(2\) 乗した数は、
\((3n)^2\)
\(=9n^2\)
\(=3×3n^2\)
\(3n^2\) は整数なので、\(3×3n^2\) は \(3\) の倍数である。
つまり、
\(3n\) を \(2\) 乗した数を \(3\) でわると余りは \(0\) である・・・①

\(3n+1\) を \(2\) 乗した数は、
\((3n+1)^2\)
\(=9n^2+6n+1\)
\(=3(3n^2+2n)+1\)
\(3n^2+2n\) は整数なので、\(3(3n^2+2n)\) は \(3\) の倍数である。
つまり、
\(3n+1\) を \(2\) 乗した数を \(3\) でわると余りは \(1\) である・・・②

\(3n+2\) を \(2\) 乗した数は、
\((3n+2)^2\)
\(=9n^2+12n+4\)
\(=9n^2+12n+3+1\)
\(=3(3n^2+4n+1)+1\)
\(3n^2+4n+1\) は整数なので、\(3(3n^2+4n+1)\) は \(3\) の倍数である。
つまり、
\(3n+2\) を \(2\) 乗した数を \(3\) でわると余りは \(1\) である・・・②

①、②、③より、
整数を \(2\) 乗した数を \(3\) で割ると、余りが \(2\) になることはない。

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