中学数学の基本から難問まで、解き方を分かりやすく解説

【中学数学】因数分解・平方の公式・和と差の公式

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平方の公式

展開の公式があと \(2\) つありました。
それ対応する因数分解が当然 \(2\) つあります。

まずは平方の公式です。
\(x^2+2ax+a^2=(x+a)^2\)
\(x^2-2ax+a^2=(x-a)^2\)

例題1

次の式を因数分解しなさい。
\(x^2+8x+16\)

解説

まずは前回習得した方法で因数分解をしてみましょう。
積が \(+16\) になる数を書き出します。
その中で、和が \(+8\) になるものを探します。

中学数学・高校受験chu-su- 因数分解 平方の公式を乗法公式で 図

つまり、
\(x^2+8x+16=(x+4)(x+4)=(x+4)^2\)

\(x^2+8x+16=(x+4)^2\)

ということです。
うまく因数分解ができました。

平方の公式の利用

ところで、定数項が平方数であるとき、
この「平方の公式」
\(x^2+2ax+a^2=(x+a)^2\)
\(x^2-2ax+a^2=(x-a)^2\)
が使えるかも!?
と思って欲しいわけです。

今回の式ですと
\(x^2+8x+16\)

定数項の \(16\) は、平方数、\(4^2\) です。
\(x\) の1次の項の係数が、この \(4\) の \(2\) 倍になっていれば
平方の公式が適用できます。
今回はこれが適用できます。

中学数学・高校受験chu-su- 因数分解 平方の公式 図1

という流れになります。
ですので、はじめに見たように、乗法公式で解いてもらってもまったく問題はありません。
ただ、平方の因数分解になっている!って数の感覚を鍛えておくとより一層速く因数分解ができますねってことです。

例題2

次の式を因数分解しなさい。
\(x^2-12x+36\)

解説

定数項、\(36\) は平方数です。\(36=6^2\)
よって、平方の公式が利用できるか頭をめぐらしましょう。
具体的には、\(6\) の \(2\) 倍の \(12\) が、\(x\) の \(1\) 次の項の係数になっているかどうかの確認です。

中学数学・高校受験chu-su- 因数分解 平方の公式 図2

よって、これは平方の公式が成立します。
\(x^2-12x+36=(x-6)^2\)

ちなみに、定数項が平方数でも、平方の公式にならないときもあります。

\(x^2+13x+36=(x+4)(x+9)\)

必ず \(x\) の \(1\) 次の項の係数のチェックまで必要です。

和と差の公式

  
つづいて和と差の展開の逆です。

\(x^2-a^2=(x+a)(x-a)\)

\(x\) の \(1\) 次の項がないときに適用できます。
\(2\) 乗の差は、和と差の積
これは非常に覚えやすく、計算も簡単です。

例題1

次の式を因数分解しなさい。
\(x^2-64\)

解説

「\(2\) 乗の差は、和と差の積」です。
\(x^2-64=(x+8)(x-8)\)

例題2

次の式を因数分解しなさい。
\(9-x^2\)

解説

「\(2\) 乗の差は、和と差の積」です。
\(9-x^2=(3+x)(3-x)\)

この式全体を \(-1\) でくくって
\(9-x^2=(3+x)(3-x)\)
\(=-(x+3)(x-3)\)
とすることもできます。

おまけ

\(2\) 乗の差は、和と差の積、これは \(x\) の \(1\) 次の項がないときに適用できると上で確認しました。
\(x\) の \(1\) 次の項がないということは、言い換えれば、\(x\) の \(1\) 次の項の係数が \(0\) ということです。
つまり、
\(x^2-64=x^2+0x-64\)
なので、
積が \(-64\) で、和が \(0\) になる数を探す!!
という乗法公式の考え方でこの因数分解をすることができます。
\(8\) と \(-8\) の \(2\) つの積が \(-64\)、和が \(0\) なので、
\(x^2-64=(x+8)(x-8)\)

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