中学数学の基本から難問まで、解き方を分かりやすく解説

【中学数学】2次方程式の解の公式

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解の公式

あらゆる \(2\) 次方程式の解を機械的に求める魔法の式があります。
これが「 \(2\) 次方程式の解の公式」です。

これを使えば、因数分解ができるのかどうかを判定することなく、
さっと公式を適用するだけで、解を求めることができます。

解の公式

\(2\) 次方程式の解の公式

\(ax^2+bx+c=0\) の解は

\(x=\)\(\displaystyle \frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

使い方を具体例で見ていきましょう。

例1

\(x^2+3x-7=0\)

\(x^2\) の項の係数が \(a\)
\(x\) の項の係数が \(b\)
定数項が \(c\)
です。

\(a=1\)
\(b=3\)
\(c=-7\)
これを解の公式に代入します。

\(x=\displaystyle \frac{-(3)±\sqrt{(3)^2-4×(1)×(-7)}}{2×(1)}\)

\(x=\displaystyle \frac{-3±\sqrt{9-(-28)}}{2}\)

\(x=\displaystyle \frac{-3±\sqrt{37}}{2}\)

例2

\(2x^2-5x-3=0\)

\(a=2\)
\(b=-5\)
\(c=-3\)
これを解の公式に代入します。

\(x=\displaystyle \frac{-(-5)±\sqrt{(-5)^2-4×(2)×(-3)}}{2×(2)}\)

\(x=\displaystyle \frac{5±\sqrt{25-(-24)}}{4}\)

\(x=\displaystyle \frac{5±\sqrt{49}}{4}\)

\(x=\displaystyle \frac{5±7}{4}\)

\(x=\displaystyle \frac{5+7}{4},\displaystyle \frac{5-7}{4}\)

\(x=3,-\displaystyle \frac{1}{2}\)

例3

\(x^2-x-20=0\)

\(a=1\)
\(b=-1\)
\(c=-20\)
これを解の公式に代入します。

\(x=\displaystyle \frac{-(-1)±\sqrt{(-1)^2-4×(1)×(-20)}}{2×(1)}\)

\(x=\displaystyle \frac{1±\sqrt{1-(-80)}}{2}\)

\(x=\displaystyle \frac{1±\sqrt{81}}{2}\)

\(x=\displaystyle \frac{1±9}{2}\)

\(x=-4,5\)

普通に因数分解で解決できる \(2\) 次方程式も、
このように解の公式で解くこともできるわけです。
\(x^2-x-20=(x+4)(x-5)\)
もちろん因数分解可能なときは、
因数分解で解きたいですね。
時間短縮です。

解の公式の導出

導出は平方完成からです。
\(ax^2+bx+c=0\)
を平方完成することで得られます。

両辺を\(a\)で割ります。
\(x^2+\)\(\frac{b}{a}\)\(x+\)\(\frac{c}{a}\)\(=0\)

これを平方完成します。
\(x^2+\)\(\frac{b}{a}\)\(x\)\(=\)\(-\frac{c}{a}\)

\(x^2+\)\(\frac{b}{a}\)\(x+\)\(\frac{b^2}{4a^2}\)\(=\)\(-\frac{c}{a}\)\(+\)\(\frac{b^2}{4a^2}\)

\((x+\)\(\frac{b}{2a}\)\()^2\)\(=\)\(\frac{b^2-4ac}{4a^2}\)

\(x+\)\(\frac{b}{2a}\)\(=±\)\(\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

\(x=-\)\(\frac{b}{2a}\)\(±\)\(\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

\(x=\)\(\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

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