中学数学の基本から難問まで、解き方を分かりやすく解説

【中学数学】素因数分解

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因数

\(A=B×C\)
のように、ある数や式(\(A\))を、別の数や式(\(B\) や \(C\) )の積で表すことができるとき、
この \(B\) や \(C\) のような、積の構成要素を「 \(A\) の因数」といいます。

\(A=B×C\) のように、因数の積で表すことを、「因数分解」といいます。

数の因数分解

\(20=4×5\) なので、\(4\) や \(5\) は \(20\) の因数です。
\(20=2×10\) なので、\(2\) と \(10\) も同じく \(20\) の因数です。

これって約数と何が違うの?

はい、違いません。
自然数の因数は、「約数」という名前で学習済みだったのです。

なぜ「因数」などという新しい言葉がでてきたのかというと、
式を積の形にすることがあるからです。

式の因数分解

\(xy+3x=x(y+3)\) なので、\(x\) や \(y+3\) は\(xy+3x\) の因数です。
ちなみに「因数分解」といえば、世間的には、
この「式を積の形に変形すること」を指します。
中学3年生の序盤に、みっちり別単元にて練習をすることになります。 

素因数分解

素数である因数を「素因数」といい、
自然数を素因数の積で表すことを、「素因数分解」といいます。
※小学校でも学習していますね!

例題1

\(360\) を素因数分解しなさい。

解説

素数で順に割っていきます。
割り算を逆にした筆算、はしご算が有名ですね。
連除法ともいわれます。

中学数学・高校受験chu-su- 素数 素因数分解 連除法 はしご算

よって、
\(360=2^3×3^2×5\)

律儀に小さい素数から順に割っていかなくとも、OKです。
例えば
\(360=9×40\)
と暗算します。
そして、\(9\) や \(40\) をまた分解していくのです。
\(9=3^2\)
\(40=5×8=5×2^3\)
よって、
\(360=9×40\)
\(=3^2×5×2^3\)
\(=2^3×3^2×5\)・・・小さい素数から順にかくのが普通

例題2

\(270\) に自然数 \(A\) をかけて、その積がある数の平方になるようにします。
最小の \(A\) はいくつか求めなさい。

解説

\(270A=B^2\) となるような最小の自然数 \(A\) を求めたいわけです。
\(270\) を素因数分解します。
\(270=2×3^3×5\)
です。
平方数とは、同じ数を \(2\) つかけあわせた数なので
\(2,3,5\) という素因数が、偶数個ずつあればよいのです。
\(270×\)\(2×3×5\)\(=2×3^3×5×\)\(2×3×5\)
\(270×\)\(2×3×5\)\(=2×2×3×3×3×3×5×5\)
\(270×\)\(2×3×5\)\(=(2×3×3×5)^2\)
つまり、
\(A=2×3×5=30\)
\(B=2×3×3×5=90\)
と求まりました。

もっと深く学習!

最小の \(A\) だけでなく、\(2\) 番目に小さい \(A\) や \(3\) 番目に小さい \(A\) も
求めてみましょう。
\(270×30=90^2\) でしたが、順に
\(270×30×\)\(2^2\)\(=90^2×\) \(2^2\)
\(270×30×\)\(3^2\)\(=90^2×\) \(3^2\)
\(270×30×\)\(4^2\)\(=90^2×\) \(4^2\)
と続いていきます。
よって、\(270A\) が平方数になるような \(A\) は
\(30×n^2\)、ただし\(n\) は自然数
であり、小さい順に、\(30,120,270,480\)・・・と無限に続きます。

例題3

\(720\) を自然数 \(A\) で割って、その商がある数の平方になるようにします。
最小の \(A\) はいくつか求めなさい。

解説

調べたら数秒?

例題 \(2\) と似ています。
もちろん素因数分解による解法なのですが・・・

この問題って、\(÷2\),\(÷3\),\(÷4\)・・・って順に調べていけばすぐに見つかりそうです。
\(720\) の約数を調べるだけですからね。
実際その解法で、ものの \(1,2\) 分で答えがでますね。

答えは

\(A=5\) です。\(720÷5=144=12^2\) となります。

素因数分解による解法

素因数分解による解法も学習しておきましょう。
\(720=2^4×3^2×5\)
平方数とは、同じ数を \(2\) つかけあわせた数なので
\(2,3,5\) という素因数が、偶数個ずつあればよいのです。
\(5\) は \(1\) つしかないので、割り算によって消すしかないですね。
\(2,3\) は いずれも偶数個なので、\(2\) つに分けることができます。

\(\displaystyle \frac{720}{5}=\displaystyle \frac{2^4×3^2×5}{5}\)

\(\displaystyle \frac{720}{5}=2^4×3^2=(2^2×3)^2\)

例題4

\(\displaystyle \frac{1}{600}=\displaystyle \frac{A}{B^3}\)
を満たす最小の自然数 \(A\) はいくつか求めなさい。

解説

調べたら数秒?

\(\displaystyle \frac{1}{600}=\displaystyle \frac{2}{1200}=\displaystyle \frac{3}{1800}=\displaystyle \frac{4}{2400}\)・・・ということです。

分母が \(B^3\) 、立方数になっているものを見つけられれば良いのですが・・・

立方数なんて覚えてないですよね・・・
素因数分解という正攻法で解きましょう。

素因数分解による解法

\(600=2^3×3×5^2\)
なので
\(600×\)\(3×3×5\)\(=2^3×3×5^2×\)\(3×3×5\)
\(600×\)\(3×3×5\)\(=2^3×3^3×5^3\)
\(600×\)\(3×3×5\)\(=(2×3×5)^3\)
このことから、
\(\displaystyle \frac{1}{600}=\displaystyle \frac{3×3×5}{600×3×3×5}=\displaystyle \frac{3×3×5}{(2×3×5)^3}\)

よって、
\(A=3×3×5=45\)
\(B=2×3×5=30\)
です。

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