中学数学の基本から難問まで、解き方を分かりやすく解説

【中学数学】平方根の値の簡略化

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根号の中の数は小さくする

ところで、問題の答えに

\(\sqrt{25}\)

と答えることは普通は許されません。

\(\sqrt{25}=5\)

なので、\(5\)
と数の表記を簡略化して答えるべきなのです。

これは分数を約分して答えるようなものです。

\(\frac{98}{182} \)
ではなくて、
\(\frac{7}{13} \)
と答えるべきなのと同様です。

さらに、
\(\sqrt{12}\)
と答えることも許されません。
\(12\) は平方数ではありませんが・・・

\(\sqrt{12}=\sqrt{4}×\sqrt{3}\) なので
\(\sqrt{12}=\)\(2\)\(×\sqrt{3}=2\sqrt{3}\)
のようにします。
根号の中の数を、できるだけ小さくすることがルールです。

例えば
\(\sqrt{200}=2\sqrt{50}=5\sqrt{8}=10\sqrt{2}\)
のように、同じ値でも、様々な表現ができます。
分数の約分のようなもので、統一した表現ルールをしないと混乱が起きますね。
この例ならば、最後の\(10\sqrt{2}\) で答えましょう。

分母の有理化

さっそくですが、下の割算について見ていきましょう。

例題

\(\sqrt{2}÷\sqrt{3}\)

解説

根号の中の数をわり算すれば良かったですね。
つまり、\(\sqrt{A}÷\sqrt{B}=\sqrt{A÷B}\)
という計算ルールがありました。

\(\sqrt{2}÷\sqrt{3}\)
\(=\)\(\sqrt{\frac{2}{3}}\)
まさしく正しい計算なのですが、この \(\sqrt{\frac{2}{3}}\) を最後の計算結果とすることは許されません。

より簡略化した値で表記すべきなのです。
いったいこの \(\sqrt{\frac{2}{3}}\) の何が悪いのか!?って思うことでしょう。
根号の中は、できるだけ簡単な数にしたいのがルールです。
根号の中が分数って、あまり簡単な表現方法ではないって思いませんか?

分母は整数にする

ずばり正しい計算を見せましょう。
まず割り算の基本中の基本。 \(A÷B=\)\(\frac{A}{B}\) ですね。
つまり、
\(\sqrt{2}÷\sqrt{3}=\)\(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)
です。
つまり、\(\sqrt{A}÷\sqrt{B}=\sqrt{A÷B}\)というルールを使いません。

このままでは、分母に根号が残っている扱いにくい表記なので、変形をします。

\(\sqrt{2}÷\sqrt{3}=\)\(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)
この分数の分子と分母のどちらにも\(\sqrt{3}\) をかけます。

\(\sqrt{2}÷\sqrt{3}=\)\(\frac{\sqrt{2}×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}\)\(=\frac{\sqrt{6}}{3}\)

すると、分母が整数になってくれました。
これが求める答えとなります。

改めて考察

下の3つの数はどれも同じ数値です。
どれがもっとも簡略化された表示方法か、見比べてみましょう。

\(\sqrt{\displaystyle \frac{2}{3}}\)

\(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)

\(\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}\)

で、結局いくつくらいの数値なの?という問いに対して、
最も答えやすい表示は、
\(\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}\)
です。\(\sqrt{6}\) の値を \(3\) で割れば良いのですから。

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