中学数学の基本から難問まで、解き方を分かりやすく解説

【中学数学】相似の証明・その2

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相似の証明・直角三角形型

直角三角形が関わる有名図形配置について学習します。

例題1

下の図のように、直角三角形 \(ABC\) において、点 \(A\) から辺 \(BC\) に向かって垂線をひき、辺 \(BC\) との交点を \(D\) とします。このとき、\(\triangle ABD \backsim \triangle CAD\) を証明しなさい。

中学数学・高校受験chu-su- 証明 直角三角形 2-1-1

解説

まず、自分自身で \(\triangle ABD \backsim \triangle CAD\) を確認します。
辺の長さに関する情報は一切ないので、
「\(2\) 組の角がそれぞれ等しい」
を用いることになりそうですね。

角に記号を入れていく

角の情報を入れていきます。
直角三角形を扱うときに、用いる常套手段があります。
角に記号を入れていきます。
\(\triangle ABD\) の内角に記号をいれます。

中学数学・高校受験chu-su- 証明 直角三角形 2-1-2

\(○+×=90°\) です。

次に、\(\triangle CAD\) の内角に着目します。
\(\angle CAD=90°-×=○\)
です。
よって、\(\angle DCA=90°-○=×\)
とわかります。

中学数学・高校受験chu-su- 証明 直角三角形 2-1-3

以上より、\(2\) つの角が等しいので相似といえます。

解答

\(\triangle ABD\) と \(\triangle CAD\) において、
仮定より、\(\angle BDA=\angle ADC\)・・・①
三角形 \(ABD\)の内角より、
\(\angle ABD=180°-90°-\angle DAB\)
\(=90°-\angle DAB\)・・・②
\(\angle CAB=90°\) なので、
\(\angle CAD=90°-\angle DAB\)・・・③
②、③より、
\(\angle ABD=\angle CAD\)・・・④
①、④より、\(2\) つの角が等しいので
\(\triangle ABD \backsim \triangle CAD\)

参考

この例題の図には、\(3\) つの直角三角形があります。
そのすべてが相似です。
つまり、上で示した \(\triangle ABD \backsim \triangle CAD\) だけでなく、
\(\triangle ABD \backsim \triangle CAD \backsim \triangle ABC\)
です。
暗記しておくべき重要図形配置です。

例題2

下の図のように、長方形 \(ABCD\) を \(AF\) で折ると、点 \(D\) が辺 \(BC\) に重なります。その位置を点 \(E\) とします。このとき、\(\triangle ABE \backsim \triangle ECF\) を証明しなさい。

中学数学・高校受験chu-su- 証明 直角三角形 2-2-1

解説

例題1と同様の手法で証明します。
下の図のように、角が等しくなっていることがわかります。

中学数学・高校受験chu-su- 証明 直角三角形 2-2-2

以上より、\(2\) つの角が等しいので相似といえます。

解答

\(\triangle ABE\) と \(\triangle ECF\) において、
仮定より、\(\angle ABE=\angle ECF\)・・・①
三角形 \(ABE\) の内角より、
\(\angle EAB=180°-90°-\angle BEA\)
\(=90°-\angle BEA\)・・・②
折り返しなので、
\(\angle FEA=\angle FDA=90°\)・・・③
頂点 \(E\) に集まる角の和は一直線 なので
\(\angle FEC=180°-\angle FEA-\angle BEA\)・・・④
③、④より、
\(\angle FEC=90°-\angle BEA\)・・・⑤
②、⑤より、
\(\angle EAB=\angle FEC\)・・・⑥
①、⑥より、\(2\) つの角が等しいので
\(\triangle ABE \backsim \triangle ECF\)

参考

下の図のように、一直線と直角が組みあわさったとき、相似ができます。
暗記しておくべき重要図形配置です。

中学数学・高校受験chu-su- 証明 直角三角形 2-2-3

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