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【中学数学】相似の証明・その1

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三角形の相似の証明

中学2年で学習した、三角形の合同の証明とほぼ同じです。
用いるのが合同条件ではなくて、相似条件になっただけです。

三角形の合同の証明があやふやな人は、そこから学習をしましょう。
急がば回れです。

証明の手順

証明の手順は「合同の証明のときと同様です」

  1. 結論がなぜいえるのかを「自分自身でわかること」
  2. それを数学の証明の書式で、清書する

1をもうすこし詳しくみましょう。
相似条件は「辺の比」と「角度」に着目しているので
まずは、図の中に辺の長さや角の大きさの情報を入れていきます。
具体的な長さや大きさが分からなくても、等しいことが分かって入れば同じ印をいれます。

やみくもに入れると図がごちゃごちゃしすぎて、
ポイントが掴みづらくなることがあります。
最終目標に関わる箇所から入れていきましょう。

例題1

下の図で、\(\triangle ABC \backsim \triangle DAC\) を証明しなさい。

中学数学・高校受験chu-su- 証明 相似 1-1

解説

まず、自分自身で \(\triangle ABC \backsim \triangle DAC\) を確認します。
三角形の相似条件のうち、どれを満たしているのかを確認するのです。
よって、「等しい角を探すこと」と「辺の比」を求めることをします。
証明を書く前の準備段階です。

まず、どの三角形が話題の \(2\) つなのか、しっかりと確認します。
下の図の赤い太い三角形\(\triangle ABC\)と、クリーム色の三角形\(\triangle DAC\)です。
青丸の角が、共通なので等しいですね。

中学数学・高校受験chu-su- 証明 相似 1-2

よって、
「あともう \(1\) つ、角の大きさが等しい」

「\(2\) 組の辺の比が等しい(ただし、青丸の角をはさむ \(2\) 辺)」
のどちらかをいえばよいのです。

当然ですが、
「三角形の相似条件」
を暗記しているからこそ、何を目指せばよいのかがわかるのです。
最終目標から逆算して考えることが大事です。

今回は、辺の長さが様々に与えられています。
「\(2\) 組の辺の比が等しい(ただし、青丸の角をはさむ \(2\) 辺)」
がいえそうです。
実際にいえるかどうか、確認をします。

中学数学・高校受験chu-su- 証明 相似 1-3

どちらも、青丸の角をはさむ \(2\) 辺の比が \(1:2\) になっています。

よって、「\(2\) 組の辺の比が等しく、その間の角が等しい」ので相似が成り立ちます。

これを解答にまとめます。

解答

\(\triangle ABC\) と \(\triangle DAC\) において、
仮定より、\(AC:DC=12:6=2:1\)・・・①
仮定より、\(BC:AC=24:12=2:1\)・・・②
共通なので、\(\angle BCA=\angle ACD\) ・・・③
①、②、③より、\(2\) 組の辺の比が等しく、その間の角が等しいので
\(\triangle ABC \backsim \triangle DAC\)

2つの三角形の向きをそろえると楽

上の解説はいかがでしたか?
例題1では、相似を示すべき \(2\) つの三角形が重なっていたため、
辺の比の情報が読みとりづらくなっています。
初心者のうちは、
\(2\) つの三角形の向きがそろうように図を自分でかく
という解法も試してみてください。

中学数学・高校受験chu-su- 証明 相似 1-4

中学数学・高校受験chu-su- 証明 相似 1-5

例題2

下の図のように、正三角形 \(ABC\) の辺 \(BC\) 上に点 \(P\) をとり、\(AP\) を \(1\) 辺とする正三角形 \(APQ\) をつくる。\(AC\) と \(PQ\) の交点を \(R\) とするとき、\(\triangle ABP \backsim \triangle AQR\) を証明しなさい。

中学数学・高校受験chu-su- 証明 相似 2-1

解説

\(\triangle ABP \backsim \triangle AQR\) が最終目標です。
\(2\) つの三角形の辺、角について順に見ていきましょう。

辺の長さの比については、まったく情報がありません。
角は、正三角形の内角と等しい \(60°\) がわかります。

中学数学・高校受験chu-su- 証明 相似 2-2

さて、
「もう \(1\) つ等しい角」

「 \(60°\) をはさむ \(2\) 組の辺の比が等しい」
のどちらかを示さないといけません。
どちらが示せるか考えてみてください。

ずばり、

「もう \(1\) つ等しい角」
がいえます。
正三角形の内角 \(60°\) を用います。

下の図において、
\(○+x=60°\)・・・正三角形 \(ABC\) の内角
\(△+x=60°\)・・・正三角形 \(APQ\) の内角
よって、\(○=△\)

中学数学・高校受験chu-su- 証明 相似 2-3

以上より、「\(2\) 組の角が等しい」ので相似です。
これを解答にまとめます。

解答

\(\triangle ABP\) と \(\triangle AQR\) において、
仮定より、正三角形の1つの内角は \(60°\) なので
\(\angle ABP=\angle AQR\)・・・①
仮定より、正三角形の1つの内角は \(60°\) なので
\(\angle PAB+\angle CAP=60°\)・・・②
仮定より、正三角形の1つの内角は \(60°\) なので
\(\angle RAQ+\angle CAP=60°\)・・・③
②、③より、
\(\angle PAB=\angle RAQ\)・・・④
①、④より、\(2\) 組の角が等しいので
\(\triangle ABP \backsim \triangle AQR\)

相似条件の使用頻度

辺の長さが与えられずに相似を証明するときの相似条件は
「\(2\) 組の角がそれぞれ等しい」
であることがほとんどです(全部と言ってしまってよいくらい)。

また相似を証明する問題の大半が、
「\(2\) 組の角がそれぞれ等しい」
を用います。
\(9\) 割近くがこれです。

残り \(1\) 割が
「\(2\) 組の辺の比が等しく、その間の角が等しい」
です。

ほとんど出てこないのが
「\(3\) 組の辺の比が等しい」
です。

頭に入れておいてください。

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