中学数学の基本から難問まで、解き方を分かりやすく解説

【中学数学】直方体の対角線

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直方体の対角線

立体にも対角線という言葉を用います。
直方体の対角線とは、下図のような
内部を貫く線分のことです。

中学数学・高校受験chu-su- 三平方の定理 直方手の対角線 図01

直方体の対角線の長さ

たて、横、高さがそれぞれ、\(a,b,c\) である直方体の対角線の長さを \(L\) とすると、
\(L=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)

中学数学・高校受験chu-su- 三平方の定理 直方手の対角線 図02

三平方の定理の斜辺の長さと似ていますね。
「三平方の定理の立体版」って感じがしますね。

なぜこの公式なのか

直方体の対角線の長さの公式は、なぜ成り立つのか。
これについては、公式の成り立ちまで学習しておくべきです。

下の図の紫の三角形、
つまり直方体の底面の直角三角形 \(HFG\) について
三平方の定理を用いると
\(FH^2=a^2+b^2\)・・・①

中学数学・高校受験chu-su- 三平方の定理 直方手の対角線 図03

また、下の図のクリーム色の三角形、
つまり直方体の内部の直角三角形 \(BFH\) について
三平方の定理を用いると
\(BH^2=FH^2+c^2\)・・・②
①を②に代入すると
\(BH^2=a^2+b^2+c^2\)
\(BH \gt 0\) だから
\(BH=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)
これで、導けました。

中学数学・高校受験chu-su- 三平方の定理 直方手の対角線 図04

空間図形も、平面に着目して解く

立体を扱うさいに、平面に着目するということが重要です。
上で見た、直方体の対角線の長さの公式の導出のように
\(1\) つずつ、平面で考えていくことが鍵になります。

例題

(1)縦 \(3cm\)、横 \(4cm\)、高さ \(5cm\) の直方体の対角線の長さを求めなさい。
(2)\(1\) 辺の長さが \(4cm\) の立方体の対角線の長さを求めなさい。

解答

この問題は、公式を適用して計算するだけです。
(1) \(\sqrt{3^2+4^2+5^2}\)
 \(=\sqrt{9+16+25}\)
 \(=\sqrt{50}\)
 \(=5\sqrt{2}\)

(2) \(\sqrt{4^2+4^2+4^2}\)
 \(=\sqrt{16+16+16}\)
 \(=\sqrt{48}\)
 \(=4\sqrt{3}\)

立方体の対角線

\(1\) 辺の長さが \(acm\) の立方体の対角線の長さは、
\(\sqrt{a^2+a^2+a^2}\)
\(=\sqrt{3a^2}\)
\(=a\sqrt{3}\)
公式として覚えてしまってもかまいません。

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