中学数学の基本から難問まで、解き方を分かりやすく解説

【中学数学】正負の数・負の数を足す、引く

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負の数を足す、引く

次に、負の数を足したり、引いたりします。

まず、結論というか、計算のルールを先にかきますと、
\(5+(-3)=5-3\)
\(5-(-3)=5+3\)

つまり、
\(-3\) を足すことは、\(3\) を引くことに等しい。
\(-3\) を引くことは、\(3\) を足すことに等しい。
負の数を正の数にかえて、( )の前についている演算記号を逆(+は-、-は+)にします。
負の数は逆向きの数、というイメージとピッタリの計算ルールじゃないでしょうか。

計算ルールを体得せよ!

上の計算ルールについての学習ですが
1.なぜ、このようなルールなのか知る
2.とにかく計算ルールを覚えて、スラスラ計算ができるように実践する
の \(2\) 方向の学習があります。

初学者にとって重要なのは、2です。
とにかく計算ルールを覚えて、スラスラ計算ができるように実践しましょう。

1の「なぜ、このようなルールなのか知る」についてですが、
なんとなく納得、程度の理解でOKです。

実際に計算をするさいは、いちいち計算ルールの意味を考えていては遅いのです。
負の数についたかっこ()をはずすことは、これから先、頻繁に出会うことになります。
機械的に、ただの計算ルールと割り切って、何も考えずにスラスラと行う。
これが目指すべき目標なので、計算ルールとして覚えてしまうことに何の問題もありません。

では、くわしく見ていきましょう。

正の数+負の数

まずは、「負の数を足す」からです。

  • 正 + 負

\(4+(-1)=\)

負の数は、上のようにかっこで囲みます。
囲まないと

\(4+-1=\)

のような表記になります。
+- が連続していて見にくい、
という理由で、負の数にはかっこをつけます。

さて、
\(4+(-1)=\)
ですが、
よん 足す マイナスいち  と読みましょう。
負の数(-1)を足す計算です。

4円と、借金1円が足し合わされば・・・実質、\(4-1=3\)(円)持っているとわかりますね。

\(4+(-1)=3\)
となります。
つまり
-1を足すということは、1を引くことに等しい
ということです。
\(4+(-1)\)
\(=4-1\)
\(=3\)

負の数を足すことは、正の数を引くことに等しい。
いかがですか。
感覚的にあたりまえと思えるようになるまで練習をしましょう。
この負の数の( )の外し方、理屈や感覚であたりまえって思えるべきですが、
何はともあれ、
計算ルールとして覚えてしまってください。

負の数の( )の前についている演算記号の+は-にかえて、(- )をはずせばよい。
つまり、\(+(-a)\) は \(-a\) に変えよ、ということです。
負の数の( )の前についている演算記号を逆にかえて( )をはずせ!と覚えましょう。

これは実は、負の数のかけ算の計算ルールと共通の仕組みになっています。
+ と - の積は - なのです。
- は、真逆の性質をもっていて、正負を入れかえるのです。
あらためてかけ算のページで学習するので、頭の片隅にいれておいてください。

負の数と( )

負の数を( )で囲むのは、上で見たように、記号が連続して見にくいときです。
それ以外のときは( )で囲むことはしません。

例えば
\(1-4=-3\)
この計算結果の \(-3\) を、\((-3)\) と表記することはしません。

式の先頭に負の数があるときは、

  • \((-2)+5=3\)
  • \(-2+5=3\)

どちらの表記でも構いませんが、普通は( )を使いません。
主に学習初期にでてくるのみです。

例題

次の計算をしなさい。
① \(2+(-5)\)
② \(-1+(-2)\)
③ \((-3)+(-1)\)

解答

① \(3\)
\(2+(-5)=2-5\)
と負の数についた ( ) をはずします。
その後は数直線を右に、左にですね。
\(2-5=-3\)
です。

② \(-3\)
\(-1+(-2)=-1-2\)
と負の数についた ( ) をはずします。
\(-1-2=-3\)
です。

③ \(-4\)
\((-3)+(-1)=-3-1\)
と負の数についた ( ) をはずします。
\(-3-1=-4\)
です。

正の数-負の数

次に、「負の数を引く」です。
下の例で考えてみましょう。

\(3-(-2)=\)

さん 引く マイナスに  と読みましょう。

-2を引くということは、
-2を取り除くということであり、
例えるなら、-2円という借金がなくなるようなものですから、
実質2円増えることなります。

つまり
\(3-(-2)\)
\(=3+2\)
\(=5\)

-2を引くことは、+2を足すのと同じ
負の数を引くことは、正の数を足すことと同じ なのです。
これが感覚的にわかる生徒も多いようですが・・・
わかる子はそれでOKです。
その感覚に従って計算練習を積んでください。

わからない、納得できないという場合は

まずは計算の規則として認める、覚える。

これでOKです。
なぜなのか考えることはもちろん大事ですが、
綺麗ごとばかり言っていてもはじまりません。
とにかくテストで点が取れるようになることは大事なことです。
それに演習を重ねていくうちにわかってくる、ということはよくあることです。
ですから、たくさん練習をして慣れていきましょう。

負の数の( )の前についている演算記号のーは+にかえて、(- )をはずせばよい。
つまり、\(-(-a)\) は \(+a\) に変えよ、ということです。
負の数の( )の前についている演算記号を逆にかえて( )をはずせ!と覚えましょう。
※さっきと同じルールですよ、念のため。
これは実は、負の数のかけ算の計算ルールと共通の仕組みになっています。
- と - の積は + なのです。
- は、真逆の性質をもっていて、正負を入れかえるのです。
あらためてかけ算のページで学習するので、頭の片隅にいれておいてください。

例題

次の計算をしなさい。
① \(4-(-3)\)
② \(-5-(-2)\)
③ \((-2)-(-6)\)

解答

① \(7\)
\(4-(-3)=4+3\)
と負の数についた ( ) をはずします。
\(4-(-3)=4+3=7\)
です。

② \(-3\)
\(-5-(-2)=-5+2=-3\)

③ \(4\)
\((-2)-(-6)=-2+6=4\)

それでも、どうしも、腑に落ちない・・・
どうして-2を引くことは、+2を足すのと同じなのか・・・
このような人は、以下の説明を読んでください。

なぜなぜ? 負の数の引き算

3円の現金と、2円の借金の証明書がある。
今いくらもっているのか、を数式で表すと

\(3+(-2)=\)

となりますね。
もちろん計算結果は

\(3+(-2)=1\)

いま実質1円もっていることになります。

次に、お金を貸していた人が
「2円の借金、返さなくてもいいよ、なしでいい」
と言いました。

これを数式にするとどうなりますか?

\(3+(-2)-(-2)=\)
ですね。
もちろん手元に残るのは3円の現金なので、

\(3+(-2)-(-2)=3\)
です。

これは、
1円もっていた人が、2円の借金がなくなったら、手持ちの金額が2円増えたことを意味していますね。
\(1-(-2)=3\)
ですね。
2円の借金の証明書が手元からなくなる=(-2)が取り除かれる=2円増えることになる
つまり、
負の数を引くとは、借金が取り除かれる(チャラになる)ようなもの
チャラになった分だけ、所持金は増えるわけです。

まとめ
負の数に()がついているときは、その( )をはずす。

10+(-4)=10-4
-4(マイナスよん)を足すことは、+4(プラスよん)を引くことに等しい。

10-(-3)=10+3
-3(マイナスさん)を引くことは、+3(プラスさん)を足すことに等しい。

つまり、負の数の( )の前についている演算記号を逆(+は-、-は+)にかえて、( )をはずせばよい。


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