中学数学の基本から難問まで、解き方を分かりやすく解説

【中学数学】等式の変形

スポンサーリンク


文字を含む等式を「方程式」とよびます。
方程式を成り立たせる値を、方程式の「解(かい)」といい、
解を求めることを、「方程式を解く」といいます。

等式の変形

ただの逆算では解けない方程式がある

さて、小学生の時にやった逆算が実は方程式であったことを紹介しましたが、
方程式のすべてを小学生のときにやったわけではありません。

例えば以下の方程式

次の方程式を解け
\(5x-2=2x+16\)

これは小学校の時にはやっていません。
新しい手法を用いて、方程式を解きます。

それは超重要事項、等式の変形です。

注 方程式は等式の一種です。
「等式の変形=方程式の変形」と思ってもらってかまいません。

さて、等式の変形(方程式の変形)を学習してきましょう。

等式の変形 等式とはてんびんのつりあいである。

等式とは、左辺と右辺が等しいことを表しています。
理科のてんびんを想像してください。
てんびんがつりあっている状態、これが等式です。

中学数学・高校受験chu-su- 方程式 等式 てんびん 図1

例えば、このてんびんの両方の皿にまったく同じ重りを追加したら・・・
てんびんのつりあいは保たれたままです。
つりあっているてんびんの、左の皿と右の皿にまったく同じ操作をする。
もちろんつりあいは保たれ続けます。
また、左右を入れかえてもつりあいは保たれます。

等式のつりあいを保ったまま変形する方法5つ

  1. 両辺に同じ数を足す
  2. 両辺から同じ数を引く
  3. 両辺に同じ数をかける
  4. 両辺を同じ数で割る ただし、0で割ることはできない。
  5. 左辺と右辺を入れかえる

このように「つりあいを保ったまま式を変形」していって、\(x=\)数値 の形になるまで変形すれば
方程式が解けたことになります。

具体例で見てみましょう。
さきほどの方程式を解いてみましょう。

\(5x-2=2x+16\)
両辺に2を足すと
\(5x-2\) \(+2\) \(=2x+16\) \(+2\)
左辺と右辺をそれぞれ計算して整理すると、
\(5x=2x+18\)
両辺から \(2x\) を引くと
\(5x\)\(-2x\)\(=2x+18\)\(-2x\)
左辺と右辺をそれぞれ計算して整理すると、
\(3x=18\)
両辺を3で割って・・・
\(x=6\)

このように解が求まりました。
つまり、てんびんが簡略化していくように、
左右に操作をしていきます。
\(x=数値\)
まで変形できれば、方程式が解けたことになります。

等式の変形で簡単な方程式を解いてみよう

さて、小学生時にやっていた逆算たちも立派な方程式であり、
等式の変形で解を求めることが可能です。
確認しておきましょう。

例題1

\(x+4=7\)・・・両辺から4をひく
\(x+4\)\(-4\)\(=7\)\(-4\)
\(x=3\)

例題2

\(2x-1=5\)・・・両辺に1を足す
\(2x-1\)\(+1\)\(=5\)\(+1\)
\(2x=6\)・・・両辺を2で割る
\(x=3\)

例題3

\(4x+12=20\)・・・両辺を4で割る
\((4x+12)×\)\(\frac{1}{4}\)\(=20×\)\(\frac{1}{4}\)
\(x+3=5\)・・・両辺から3をひく
\(x=2\)

別解

\(4x+12=20\)
\(4x+12-12=20-12\)
\(4x=8\)
\(x=2\)

例題4

\(0.1x+1.2=0.4\)・・・両辺を10倍する
\((0.1x+1.2)\)\(×10\)\(=0.4\)\(×10\)
\(x+12=4\)
\(x=-8\)

等式の変形で方程式を解く

さて、いよいよ中学生ならではの方程式を解きましょう。
それはつまり、等式の変形の練習をするということです。

例題

次の方程式を解きなさい。
(1)\(x=3x-8\)
(2)\(4x+3=-x+5\)
(3)\(-2-3x=\displaystyle \frac{x}{2}+1\)

解説

両辺に同じ計算をして、等式を変形していきます。

(1)\(x=3x-8\)

両辺に、どのような計算をするのか、
答えまでの道のりは \(1\) つではありません。
正しく式変形ができれば、どのような道を辿ってもOKです。

解答例1

\(x=3x-8\)
両辺から\(x\) を引くと、
\(x\)\(-x\)\(=3x-8\)\(-x\)
左辺、右辺を整理すると、
\(0=2x-8\)
両辺に \(8\) を足すと
\(0\)\(+8\)\(=2x-8\)\(+8\)
左辺、右辺を整理すると、
\(8=2x\)
両辺を \(2\) で割ると
\(8\)\(÷2\)\(=2x\)\(÷2\)
左辺、右辺を整理すると、
\(4=x\)
左辺と右辺を入れかえて
\(x=4\)
これで解が求まりました。

他にも、解にいたる道はいくらでもあります。

(2)\(4x+3=-x+5\)

変形途中を、(1)よりは少し省略していきます。

解答例

\(4x+3=-x+5\)
両辺に \(x\) を足すと
\(4x+3\)\(+x\)\(=-x+5\)\(+x\)
左辺、右辺を整理すると、
\(5x+3=5\)
両辺から \(3\) を引くと
\(5x+3\)\(-3\)\(=5\)\(-3\)
\(5x=2\)
両辺を \(5\) で割ると
\(x=\displaystyle \frac{2}{5}\)
これで解が求まりました。

(3)\(-2-3x=\displaystyle \frac{x}{2}+1\)

変形途中を、(1)よりは少し省略していきます。

解答例1

\(-2-3x=\displaystyle \frac{x}{2}+1\)
両辺から \(\displaystyle \frac{x}{2}\) を引くと
\(-2-\displaystyle \frac{7x}{2}=1\)
両辺に \(2\) を足すと
\(-\displaystyle \frac{7x}{2}=3\)
両辺を \(-2\) 倍すると
\(7x=-6\)
両辺を \(7\) で割ると
\(x=-\displaystyle \frac{6}{7}\)
これで解が求まりました。

解答例2

\(-2-3x=\displaystyle \frac{x}{2}+1\)
両辺を \(2\) 倍すると
\(-4-6x=x+2\)
両辺から \(x\) を引くと
\(-4-7x=2\)
両辺に \(4\) を足すと
\(-7x=6\)
両辺を \(-7\) で割ると
\(x=-\displaystyle \frac{6}{7}\)
これで解が求まりました。

スポンサーリンク





  • 次のページ 移項と様々な1次方程式
  • 前のページ 方程式の導入
  • 中学1年数学の解説

    お問い合わせはこちらです

    • Facebook
    • Hatena
    • twitter
    • Google+




    スポンサーリンク




    中学1年数学の解説

    PAGETOP
    Copyright © 中学数学の無料学習サイト chu-su- All Rights Reserved.