中学数学の基本から難問まで、解き方を分かりやすく解説

【中学数学】空間 平面と直線の位置関係

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平面と平面  平行か交わる(垂直含む)か
平面と直線  平行か交わる(垂直含む)か
直線と直線  平行か交わる(垂直含む)かねじれの位置か

平面と平面の位置関係

空間内の2つの平面の位置関係は

  • 平行 
  • 交わる(特に垂直に交わるかどうかに注目)

この \(2\) 択となります。
交わる場合は、垂直であるか否かに注目することも多いです。

下の図を例に、平面と平面の位置関係を確認しましょう。

面と面が平行

面 \(ABCD\) と平行な面は面 \(EFGH\) です。
この \(2\) つの面をどの方向に無限に延長しても、交わることがありません。

中学数学・高校受験chu-su- 面と面が平行の図

平面を無限に延長するとは下図のようなイメージです。

中学数学・高校受験chu-su- 面を無限に延長の図

面と面が交わる

垂直に交わる

面 \(ABCD\) と垂直な面は面 \(ABFE\) です。

中学数学・高校受験chu-su- 面と面が垂直 図

垂直でない交わり

面 \(ABCD\) と面 \(DCGH\) は交わっていますが、垂直ではありません。

中学数学・高校受験chu-su- 面と面の交差 図

平面と直線の位置関係

空間内の平面と直線の位置関係は

  • 平行 
  • 交わる(特に垂直に交わるかどうかに注目)

この \(2\) 択になります。

下図の例で見ていきましょう。
面 \(ABCD\) と平行な直線は黄色い線。
面や直線をどれだけ延長しても、決して交わることがないことがわかります。
平行な直線は、平行な面内にある直線であることもわかる。

面 \(ABCD\) と交わる直線は赤い線と青い線の両方であり、
垂直に交わっている直線は赤い線です。

中学数学・高校受験chu-su- 面と直線の位置関係 図

直線と直線の位置関係

空間内の2直線の位置関係は

  • 平行 
  • 交わる(特に垂直に交わるかどうかに注目)
  • ねじれの位置

この3択になります。

ねじれの位置という新しい概念がでてきました。
どのようなものなのか、順に説明します。

交わるかどうかで判定

2直線が交わる

最もわかりやすいの交わる2直線です。

直線 \(AB\) と交わる直線は、下図の赤い線と青い線です。
その中で、垂直に交わる直線が赤い線です。

中学数学・高校受験chu-su- 2直線の位置関係 交わる

\(2\) 直線が垂直であるとは、その2直線を含む平面上で考えます
(この平面はただ \(1\) つに定まります)。
あとは、平面での垂直と同じことです。
例えば、面 \(AEHD\) に注目すると、\(AD\)と \(AE\) は垂直なので、
\(2\) 直線 \(AD\) と \(AE\) は垂直です。

2直線が交わらない

交わらない直線は
平行
ねじれの位置
のどちらかになります。

同一平面上にあるものが 平行
それ以外が ねじれの位置です。

直線 \(AD\) に対して、
つまり赤茶色の直線が平行
紫の直線がねじれの位置です。

中学数学・高校受験chu-su- 2直線の位置関係 平行 ねじれの位置

同一平面上かどうかで判定

ねじれの位置について、上のような見分け方を紹介しました。

しかし、「ねじれの位置」というのは
「同一平面上にない直線」のことなので、
2直線の位置関係の分類として、より適切なものは

1.2直線が同一平面上にあるか、ないか。
  ないならば「ねじれの位置」
2.同一平面上にある2直線において、交わるか交わらないか。
  交わらないならば「平行」

となります。
あまりこだわる必要はありませんが。  

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