中学数学の基本から難問まで、解き方を分かりやすく解説

【中学数学】回転体・その1

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ある平面を回転させたとき、その平面が通過する部分の立体を考えます。
回転なので、当然ですが、円に関わる立体が出来上がります
円柱、円すい、それらを組み合わせた立体になります。

例題1

下の長方形を、直線 \(L\) を軸として \(1\) 回転させてできる立体について
体積と表面積をそれぞれもとめなさい。

中学数学・高校受験chu-su- 空間図形 回転体 円柱 図1-1

解説

円柱になります。

中学数学・高校受験chu-su- 空間図形 回転体 円柱 図1-2-2

体積

\(体積=底面積×高さ\)
\(6^2\pi×10=360\pi\)

表面積

\(表面積=底面積×2+側面積\)
\(6^2\pi+6×2×\pi×10\)
\(=36\pi+120\pi\)
\(=156\pi\)

例題2

下の直角三角形を、直線 \(L\) を軸として \(1\) 回転させてできる立体について
体積と表面積をそれぞれもとめなさい。

中学数学・高校受験chu-su- 空間図形 回転体 円すい 図2-1

解説

円すいになります。

中学数学・高校受験chu-su- 空間図形 回転体 円すい 図2-2

体積

\(体積=底面積×高さ× \displaystyle \frac{1}{3}\)
\(5^2\pi×12×\displaystyle \frac{1}{3}=100\pi\)

表面積

\(表面積=底面積+側面積\)
\(5^2\pi+13×5×\pi\)
\(=25\pi+65\pi\)
\(=90\pi\)

例題3

下の長方形を、直線 \(L\) を軸として \(1\) 回転させてできる立体について
体積と表面積をそれぞれもとめなさい。

中学数学・高校受験chu-su- 空間図形 回転体 トイレットペーパー 図3-1

解説

トイレットペーパーのような立体になります。
円柱から、円柱をくりぬいた立体です。

中学数学・高校受験chu-su- 空間図形 回転体 トイレットペーパー 図3-2

体積

\(体積=底面積×高さ\)
底面積は、ドーナツのような図形の面積です。
大円から小円を引けば良いですね。
つまり、
\((10^2\pi-4^2\pi)×15=1260\pi\)

表面積

\(表面積=底面積 2つ +側面 2つ\)

底面積

底面積はドーナツにような形が上下に \(2\)つです。
\((10^2\pi-4^2\pi)×2=168\pi\)

側面積

側面積は外側と内側がありますね。

外側の側面積

半径 \(10cm\) の円柱の側面積になります。
\(10×2×\pi×15=300\pi\)

内側の側面積

半径 \(4cm\) の円柱の側面積になります。
\(4×2×\pi×15=120\pi\)

いよいよ表面積!

以上を合計します。
\(168\pi+300\pi+120\pi=588\pi\)

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