中学数学の基本から難問まで、解き方を分かりやすく解説

【中学数学】方程式の利用 過不足

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例題1

画用紙を生徒 \(1\) 人に \(5\) 枚ずつ配ると \(12\) 枚余り、\(7\) 枚ずつ配ると \(4\) 枚足りない。生徒の人数と画用紙の枚数を求めなさい。

解説

生徒の人数と画用紙の枚数、求めたい量が \(2\) つあります。
どちらを \(x\) とおいたら良いのでしょうか。

どちらでも解けます。
不思議に思うかもしれませんが、それが数学です。
何を未知数に置いても、その後正しく論理を進めていけば
必ず正しい答えにたどりつきます。
この事実はとりあえず覚えちゃってください。
実際にそうなのかな?と自ら、様々な解法で同じ問題を解くという
経験を積んでいって欲しいと思います。

まずは生徒の人数を \(x\) として解いてみましょう。

生徒の人数を \(x\) 人とする

生徒の人数を \(x\) 人 とすると
画用紙の枚数は、\(5x+12\) 枚であり、\(7x-4\) 枚と表せるので、

\(5x+12=7x-4\)
\(-2x=-16\)
\(x=8\)
より生徒は \(8\) 人いる。
画用紙の枚数は、
\(5×8+12=52\)
より、\(52\) 枚である。

答え  生徒 \(8\)人  画用紙 \(52\) 枚

自分の解答に矛盾がないか確認!

画用紙の枚数を表す式が2つあるので、
\(7x-4\) 枚に\(x=8\) を代入して
\(7×8-4=52\)
と求めることもできます。
\(2\) つの式で同じ数値がでれば、自身の解答に誤りがないことを確かめることができます。
このような矛盾が起きていないことの確認は、家庭学習時には必ずやりましょう。
テストのときもぜひやって欲しいと思いますが、時間制限もあるので、できる限りやるようにしましょう。

画用紙の枚数を \(x\) 枚とする

ところで、画用紙の枚数を \(x\) 枚とおいて解くとどうなるのでしょうか。
要点を下にまとめると、

\(5\) 枚ずつ配ると \(12\) 枚余るから、生徒の人数は、\(\displaystyle \frac{x-12}{5}\) 

\(7\) 枚ずつ配ると \(4\) 枚足りないから、生徒の人数は、\(\displaystyle \frac{x+4}{7}\) 

\(\displaystyle \frac{x-12}{5}=\displaystyle \frac{x+4}{7}\) 
これを解いて、
\(x=52\)

画用紙の枚数が \(52\) 枚と、正しく求まりました。

なにを \(x\) とおくべきか

生徒の人数、画用紙の枚数、どちらを \(x\) とおいても解くことができますね。
しかし、生徒の人数を \(x\) とした方が圧倒的に解きやすいと思います。

どちらをおいた方が簡単に解けるのか。
\(x\) と置かなかったもう片方が、 \(x\) の式で簡単に表現できるかどうかがポイントになります。
式を簡単に作れるほうを選んだ方が良いですね。

例題2

移動教室の部屋割りをすることになった。\(1\) 部屋に生徒を \(5\) 人ずつにすると \(12\) 人が入れないため、\(1\) 部屋に生徒を \(6\) 人ずつにしたところ \(4\) 人の部屋が \(1\) つできた。部屋の数と生徒の人数を求めなさい。

解説

部屋の数と生徒の人数、求めたい量が \(2\) つあります。
どちらを \(x\) とおいたらより簡単に解けそうでしょうか。

まずは生徒の人数を \(x\) 人として解いてみましょう。

生徒の人数を \(x\) 人とする

生徒の人数を \(x\) 人 とすると
部屋の数は、\(\displaystyle \frac{x-12}{5}\) であり、\(\displaystyle \frac{x-4}{6}+1\) と表せるので、
\(\displaystyle \frac{x-12}{5}=\displaystyle \frac{x-4}{6}+1\)
これを解けば解決です。

もちろんこの解法で申し分ないですが、分数がでてきて少し面倒ですね。

部屋の数を \(x\) として解いてみましょう。

部屋の数を \(x\) 部屋とする

部屋の数を \(x\) 部屋とすると
生徒の人数は、\(5x+12\) であり、
生徒の人数は、\(6(x-1)+4\) と表せるので、
\(5x+12=6(x-1)+4\)
\(5x+12=6x-6+4\)
\(-x=-14\)
\(x=14\)
よって、\(14\) 部屋あります。
生徒の人数は、
\(5×14+12=82\)
より、\(82\) 人です。

答え \(14\) 部屋、\(82\) 人

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