【中学数学】確率・くじ引き

例題１

当たりが $2$ 本、はずれが $3$ 本入っているくじの箱がある。この箱からくじを $2$ 本引くとき、次の確率を求めなさい。
①$1$ 本くじを引き、引いたくじを箱にもどしてから、もう $1$ 本くじを引くとき、$1$ 本当たりの出る確率
②$1$ 本くじを引き、引いたくじを箱にもどさないで、もう $1$ 本くじを引くとき、$1$ 本当たりの出る確率
③$2$ 本同時にくじをひくとき、$1$ 本当たりのでる確率

解説

すべてのくじに名前をつけて区別します。
そして、書き出します。

当たり $2$ 本を $A,B$
はずれ $3$ 本を $1,2,3$
と名付けます。
もちろん区別さえできれば、名前はなんでもかまいません。

さて樹形図で書き出していきましょう！

①引いたくじをもどす

引いたくじを箱にもどすので、同じくじを $2$ 連続で引くこともありますね。

全部で $25$ 通りあることがわかります。
そして、$1$ 本当たりがでているのは、●印をつけた $12$ 通りです。
よって、求める確率は、$\displaystyle \frac{12}{25}$ です。

全書き出しをしないで、計算で求める

上の樹形図ですが、すべて $5$ 本に枝分かれしています。
よって、$1$ 回目に引くくじが $5$ 通り、$2$ 回目に引くくじが、$5$ 通り、
$5×5=25$（通り）
と全場合の数を計算で求めることもできます。
しかし、計算で済ませることができるのは、全体像が上の樹形図のようになることが、確実に手にとるようにわかるからこそです。
たくさんの書き出しを経験することで、計算だけで済ませられるようになる日もくるかもしれません。

ところで、$1$ 本だけ当たりの場合の数は、計算ではどのように求めるのでしょうか。
以下のようになります。
①$1$ 回目が当たりで、$2$ 回目がはずれ
$2×3=6$（通り）
②$1$ 回目がはずれで、$2$ 回目が当たり
$3×2=6$（通り）
①と②あわせて、$6+6=12$（通り）

いかがでしょうか？
全部書き出した方が楽だな、と感じた人が多いのではないでしょうか？
はい、どんどん全書き出しをしていきましょう！

②引いたくじをもどさない

もちろん樹形図による書き出しです。
$1$ 回目に引いたくじをもどさないので、$2$ 回目に引くことはありませんね。
下の図のようになります。

全部で $20$ 通りあることがわかります。
そして、$1$ 本当たりがでているのは、●印をつけた $12$ 通りです。
よって、求める確率は、$\displaystyle \frac{12}{20}=\displaystyle \frac{3}{5}$ です。

もちろん、慣れてくれば計算で求めてしまってもかまわないです。

③２本同時にくじを引く

○同時に取り出すので、同じくじ $2$ つを引くことはない。
○同時に取り出すので、順序は関係ない。
つまり、「$A,B$」と「$B,A$」を区別しない。

これに注意して書き出すと、下の図のようになります。

全部で $4+3+2+1=10$ 通りあることがわかります。
そして、$1$ 本当たりがでているのは、●印をつけた $6$ 通りです。
よって、求める確率は、$\displaystyle \frac{6}{10}=\displaystyle \frac{3}{5}$ です。

2本同時と1本ずつ順に2本は同じ確率

ちなみに $2$ 本同時に引くときの樹形図は、②の樹形図の半分になっています。
②の樹形図は、「$1$ 本ずつ順に引くときの樹形図」です。

また、②と③で確率が等しいことも偶然ではありません。
$1$ 本ずつ $2$ 本引くのと、同時に $2$ 本引くのと、当たりやすさに違いがないということです。
当たり前ですよね。

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